Inecuaciones lineales racionales

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1️⃣ Modo uno a uno

Resolver inecuaciones lineales con coeficientes racionales en el contexto de la resolución de problemas, por medio de representaciones gráficas, simbólicas, de manera manual y/o con software educativo.

Ejemplo

Ejemplo análogo: Resolver $rac{x}{3} + 2 > 5$

Paso 1: Restamos 2 a ambos lados: $rac{x}{3} > 5 - 2 \Rightarrow rac{x}{3} > 3$.
Paso 2: Multiplicamos por 3 para despejar x: $x > 3 \cdot 3 \Rightarrow x > 9$.
Paso 3: En la recta numérica, marcamos un círculo abierto en el 9 y sombre hacia la derecha.

Solución: $x > 9$

Ejemplo análogo: Si la inecuación es x/2 + 4 ≤ 10:

Paso 1 (Despeje): Restamos 4 a ambos lados: x/2 ≤ 6.
Paso 2 (Aislar x): Multiplicamos por 2: x ≤ 12.
Paso 3 (Gráfico): En la recta numérica, marcamos un punto cerrado en el 12 (por ser ≤) y sombreando hacia la izquierda, indicando que los valores posibles son menores o iguales a 12.

Si la solución conocida es x >= 8, debemos buscar la inecuación que la origina. El primer paso del razonamiento inverso es plantear una operación base, como dividir por 2, obteniendo x/2 >= 4. A partir de aquí, se debe continuar aplicando operaciones inversas para construir la inecuación completa, sin calcular ni verificar la respuesta final.

Ejemplo análogo: 'Ana tiene 12 años. Si la mitad de sus ahorros (x/2) más $3 supera los $7, ¿cuánto debe tener?'.
1. Filtrar ruido: Ignoramos la edad (12 años). La inecuación es x/2 + 3 > 7.
2. Despeje simbólico: Restamos 3 a ambos lados: x/2 > 4. Multiplicamos por 2: x > 8.
3. Validación pictórica: En la recta numérica, buscamos un círculo abierto en el 8 con una flecha hacia la derecha, confirmando que el 8 no se incluye y los valores son estrictamente mayores.

Explicación

Debes aplicar el procedimiento algebraico para despejar la incógnita en una inecuación con fracciones, recordando mantener el sentido de la desigualdad. La representación pictórica (recta numérica) te servirá para validar visualmente si el intervalo resultante es abierto o cerrado y su dirección.

Debes interpretar una situación cotidiana modelada simbólicamente como inecuación y vincularla con su representación pictórica en la recta numérica. El objetivo es aplicar el despeje algebraico para hallar el conjunto solución y reconocer gráficamente la dirección del intervalo y el tipo de círculo (cerrado o abierto) según el signo de desigualdad.

Debes aplicar el razonamiento inverso en un contexto simbólico: dado el conjunto solución de una inecuación, reconstruye la expresión original realizando operaciones contrarias. El objetivo es identificar qué estructura algebraica genera ese resultado específico al ser resuelta.

Debes resolver una inecuación lineal presentada en un contexto cotidiano con datos irrelevantes (ruido) y apoyada por una representación pictórica (recta numérica). El desafío consiste en filtrar la información útil, despejar la variable algebraicamente y validar la solución interpretando correctamente el intervalo abierto en el gráfico.

Se sabe que la solución de una inecuación lineal con coeficientes racionales es x <= 12. Aplicando la relación inversa, ¿cuál de las siguientes inecuaciones corresponde a la que generó esta solución?

Selecciona una opción:

A ) x/3 - 5 <= -1

B ) x/3 - 5 >= -1

C ) x/3 - 5 <= -3

D ) x/3 - 5 <= 1

Vicente, de 15 años, modela una situación de ahorro. Si guarda un tercio de su mesada (x/3) y ya tenía $2 ahorrados, quiere saber cuándo su ahorro total será estrictamente mayor a $9. Frente a la inecuación x/3 + 2 > 9 y a su gráfico, ¿qué opción representa correctamente la solución?

Selecciona una opción:

A ) x > 21

B ) x < 21

C ) x >= 21

D ) x > 24

La siguiente expresión algebraica representa la cantidad de litros de agua en un estanque. ¿Cuál es el conjunto solución representado en la recta numérica?

\frac{x}{4} + 10 > 25

Selecciona una opción:

A ) x < 60

B ) x > 60

C ) x > 64

D ) x >= 60

Maximiliano, de 15 años, modela una situación de ahorro. Si guarda un tercio de su mesada (x/3) y ya tenía $2 ahorrados, quiere saber cuándo su ahorro total será estrictamente mayor a $12. Frente a la inecuación x/3 + 2 > 12 y a su gráfico, ¿qué opción representa correctamente la solución?

Selecciona una opción:

A ) x < 30

B ) x > 30

C ) x > 33

D ) x >= 30

La siguiente expresión algebraica representa el análisis de ganancias en un emprendimiento escolar. ¿Cuál es el conjunto solución representado en la recta numérica?

\frac{x}{2} - 8 < -1

Selecciona una opción:

A ) x <= 14

B ) x < 14

C ) x >= 14

D ) x > 14

La siguiente expresión algebraica representa la determinación de notas para aprobar un examen. ¿Cuál es el conjunto solución representado en la recta numérica?

\frac{x}{2} - 3 <= 4

Selecciona una opción:

A ) x <= 12

B ) x <= 14

C ) x > 14

D ) x >= 14

Antonella tiene un presupuesto de $14 para comprar materiales. Gasta $3 en una carpeta y reparte la mitad del dinero restante (x/2) para comprar lápices. Si el gasto total no puede superar su presupuesto, modelado por x/2 + 3 <= 14, ¿qué representación gráfica muestra los valores posibles para 'x' (dinero inicial)?

Selecciona una opción:

A ) x < 22

B ) x >= 22

C ) x > 22

D ) x <= 22

Vicente tiene un presupuesto de $19 para comprar materiales. Gasta $4 en una carpeta y reparte la mitad del dinero restante (x/2) para comprar lápices. Si el gasto total no puede superar su presupuesto, modelado por x/2 + 4 <= 19, ¿qué representación gráfica muestra los valores posibles para 'x' (dinero inicial)?

Selecciona una opción:

A ) x < 30

B ) x <= 30

C ) x > 30

D ) x >= 30

Se sabe que la solución de una inecuación lineal con coeficientes racionales es x <= -25. Aplicando la relación inversa, ¿cuál de las siguientes inecuaciones corresponde a la que generó esta solución?

Selecciona una opción:

A ) x/3 + 1 <= -4

B ) x/5 + 1 >= -4

C ) x/5 + 1 <= -4

D ) x/5 - 1 >= -4

10)

Renato, de 15 años, modela una situación de ahorro. Si guarda un tercio de su mesada (x/3) y ya tenía $2 ahorrados, quiere saber cuándo su ahorro total será estrictamente mayor a $10. Frente a la inecuación x/3 + 2 > 10 y a su gráfico, ¿qué opción representa correctamente la solución?

Selecciona una opción:

A ) x > 24

B ) x > 27

C ) x >= 24

D ) x < 24