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Potencias de Base Racional y Exponente Entero
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Potencias de Base Racional y Exponente Entero

Mostrar que comprenden las potencias de base racional y exponente entero transfiriendo propiedades, relacionándolas con crecimiento y decrecimiento, y resolviendo problemas.

Ejemplo

Para resolver (2/5)-2:

  • Paso 1: El exponente -2 indica que debemos invertir la fracción base, obteniendo (5/2).
  • Paso 2: Elevamos al cuadrado (valor absoluto del exponente): numerador 5² = 25 y denominador 2² = 4.
  • Resultado final: 25/4.
Para simplificar (2/3)4 × (2/3)-1, identificamos que es una multiplicación de igual base.
Paso 1: Mantener la base (2/3).
Paso 2: Sumar los exponentes: 4 + (-1) = 3.
Resultado final: (2/3)3.
Observa la igualdad simbólica (3/5)2 × (3/5)? = (3/5)5. Para encontrar el valor oculto, el primer paso es plantear la operación inversa restando el exponente total menos el conocido: ? = 5 - 2. Detente en este planteamiento y no realices la resta final.

Ejemplo análogo: Un tanque tiene 27 litros y pierde 1/3 de su contenido cada hora. ¿Cuánto queda tras 2 horas?

  • Datos: Inicio = 27 L, Factor = 1/3, Tiempo = 2 h.
  • Planteamiento: Se multiplica el inicio por la fracción elevada al tiempo: $27 imes ( rac{1}{3})^2$.
  • Cálculo: $( rac{1}{3})^2 = rac{1}{9}$. Luego, $27 imes rac{1}{9} = 3$.
  • Resultado: Quedan 3 litros.

Pensamiento Estratégico:
1. Filtrado: En un caso donde un tanque de 81 L se reduce a 2/3 cada mes por 2 meses con 4 ayudantes, identificamos que '4 ayudantes' es ruido y lo ignoramos.
2. Modelado: Reconocemos que 'reducirse a' implica multiplicación sucesiva. Planteamos la estructura: $81 imes ( rac{2}{3})^2$.
3. Ejecución: Primero resolvemos la potencia $( rac{2}{3})^2$ y luego multiplicamos el resultado por 81, deteniéndonos aquí sin calcular el valor final numérico.

Explicación

Debes aplicar las reglas de potenciación con notación simbólica para bases racionales y exponentes enteros. Recuerda que un exponente negativo invierte la fracción base antes de elevar, y un exponente cero siempre resulta en 1.

Debes aplicar las propiedades de potencias con base racional en su representación simbólica. Recuerda que al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes, y al dividir se restan, manteniendo la base fraccionaria sin modificar.
Debes aplicar el razonamiento inverso en un contexto simbólico: como la multiplicación de potencias de igual base suma sus exponentes, para hallar el exponente desconocido debes restar el exponente del resultado menos el exponente conocido.

Debes identificar la cantidad inicial, la fracción de reducción y el tiempo transcurrido en el enunciado. Al ser un decrecimiento sucesivo representado simbólicamente, se espera que apliques potencias con base fraccionaria para calcular la cantidad final.

Este desafío simbólico requiere identificar y descartar datos irrelevantes (ruido) antes de operar. Debes aplicar potencias de base fraccionaria para modelar una reducción sucesiva, distinguiendo entre multiplicar repetidamente la misma fracción versus realizar sumas o restas lineales incorrectas.

1) Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica la siguiente expresión (deja la respuesta como una sola potencia):

( 3 4 )-2 ÷ ( 3 4 )1 = ?

Selecciona una opción:

2) Descubre el exponente entero que falta en la siguiente igualdad de potencias:

( 1 5 )-2 × ( 1 5 )? = ( 1 5 )-1

Selecciona una opción:

3) Tomás tiene una sustancia química de 32 gramos. Por una reacción, la masa de la sustancia se reduce a 1 2 de su valor cada minuto. ¿Cuántos gramos de sustancia quedan después de 3 minutos?

Selecciona una opción:

4) Ana está resolviendo un ejercicio sobre un tanque de agua. Calcula:

( -5 11 )2 = ?

Selecciona una opción:

5) Para resolver un problema relacionado con una escala de mapa, determina el resultado de:

( 1 2 )-3 = ?

Selecciona una opción:

6) Descubre el exponente entero que falta en la siguiente igualdad de potencias:

( 3 7 )-1 × ( 3 7 )? = ( 3 7 )-2

Selecciona una opción:

7) Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica la siguiente expresión (deja la respuesta como una sola potencia):

( 3 4 )0 × ( 3 4 )0 = ?

Selecciona una opción:

8) Agustina está estudiando un terreno de 108 m². Por la erosión, el área del terreno se reduce a 2 3 de su tamaño cada mes. Si Agustina trabajó con 2 ayudantes, ¿cuántos m² de terreno quedarán después de 3 meses?

Selecciona una opción:

9) Descubre el exponente entero que falta en la siguiente igualdad de potencias:

( 1 8 )0 × ( 1 8 )? = ( 1 8 )1

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10) Si en una cuenta bancaria aparece la expresión siguiente, ¿cuál es su valor exacto?

( 4 9 )-1 = ?

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