Relaciones entre potencias, raíces y logaritmos
Mostrar que comprenden las relaciones entre potencias, raíces enésimas y logaritmos:
comparando representaciones de potencias de exponente racional con raíces enésimas
en la recta numérica,
convirtiendo raíces enésimas a potencias de exponente racional y viceversa,
describiendo la relación entre potencias y logaritmos,
y resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios que involucren
potencias, logaritmos y raíces enésimas.
Ejemplo
Conversión potencia ↔ logaritmo:
2⁵ = 32 ↔ log₂(32) = 5
Regla: bⁿ = x ↔ logᵦ(x) = n
Propiedad de potencia en logaritmo:
log₂(8³) = 3 × log₂(8) = 3 × 3 = 9
Suma de logaritmos:
log₂(4) + log₂(8) = log₂(4×8) = log₂(32) = 5
Cambio de base:
log₉(27) = log₃(27) ÷ log₃(9) = 3 ÷ 2 = 3/2
Ecuación logarítmica:
log₃(x) = 4 → x = 3⁴ = 81
Valores no permitidos:
log₂(−5): no definido → el argumento no puede ser negativo
log₁(5): no definido → la base no puede ser 1
Explicación
Definición de logaritmo:
logᵦ(x) = n significa bⁿ = x
La base b debe ser positiva y distinta de 1; x debe ser positivo.
Propiedades principales:
• logᵦ(x·y) = logᵦ(x) + logᵦ(y) (suma = producto)
• logᵦ(x÷y) = logᵦ(x) − logᵦ(y) (resta = cociente)
• logᵦ(xⁿ) = n · logᵦ(x) (potencia = factor)
Cambio de base:
logᵦ(x) = logc(x) ÷ logc(b) para cualquier base c válida.
Valores especiales:
• logᵦ(b) = 1 (cualquier base es logaritmo 1 de sí misma)
• logᵦ(1) = 0 (el logaritmo de 1 siempre es 0)
• logᵦ(bⁿ) = n
Restricciones del dominio:
El argumento debe ser estrictamente positivo (> 0).
La base debe ser positiva y diferente de 1.