Función cuadrática
Mostrar que comprenden la función cuadrática f(x) = ax² + bx + c (a≠0):
reconociéndola en situaciones de la vida diaria y otras asignaturas,
representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo,
determinando puntos especiales de su gráfica,
y seleccionándola como modelo de situaciones de cambio cuadrático,
en particular de la oferta y demanda.
Ejemplo
Número de soluciones (discriminante Δ = b²−4ac):
y = x² − 5x + 6: Δ = 25−24 = 1 > 0 → dos soluciones reales
y = x² − 2x + 1: Δ = 4−4 = 0 → una solución real
y = x² + x + 1: Δ = 1−4 = −3 < 0 → sin soluciones reales
Cortes con eje X (raíces):
y = x² − 5x + 6 → (x−2)(x−3) = 0 → x = 2 y x = 3
Corte con eje Y:
y = 2x² + 3x − 7: cuando x=0 → y = −7
Punto extremo (vértice):
y = −x² + 4x − 1: a=−1, b=4 → h = −b/(2a) = 2, k = −4+8−1 = 3
→ Máximo en (2, 3)
Optimización económica:
Beneficio = −2p² + 80p − 300: precio óptimo = −80/(2×−2) = $20
Explicación
Discriminante Δ = b² − 4ac:
• Δ > 0: dos soluciones reales distintas (parábola corta el eje X en 2 puntos)
• Δ = 0: una solución real (parábola tangente al eje X)
• Δ < 0: no hay soluciones reales (parábola no toca el eje X)
Vértice (h, k):
h = −b/(2a) k = f(h) = c − b²/(4a)
• Si a > 0: parábola abre hacia arriba → vértice es mínimo.
• Si a < 0: parábola abre hacia abajo → vértice es máximo.
Intersecciones:
Eje Y: sustituir x=0 → y = c
Eje X: resolver f(x)=0 usando fórmula cuadrática o factorización.
Fórmula cuadrática:
x = (−b ± √Δ) / (2a)
Optimización:
El precio o cantidad que maximiza el beneficio es el valor de x en el vértice.