Ecuaciones cuadráticas
Resolver, de manera concreta, pictórica y simbólica o usando herramientas tecnológicas,
ecuaciones cuadráticas de la forma:
ax² = b (ax + b)² = c ax² + bx = 0 ax² + bx = c
con a, b, c ∈ ℚ y a ≠ 0.
Ejemplo
Caso ax² = b:
Resuelve: 3x² = 75
x² = 25 → x = ±√25 → x = ±5
Caso (ax ± b)² = c:
Resuelve: (2x + 1)² = 9
2x + 1 = ±3
2x + 1 = 3 → x = 1 2x + 1 = −3 → x = −2
→ x = 1 y x = −2
Caso ax² + bx = 0:
Resuelve: 4x² + 12x = 0
Factor común: 4x(x + 3) = 0
→ x = 0 y x = −3
Caso ax² + bx + c = 0:
Resuelve: x² − 5x + 6 = 0
Factoriza: (x − 2)(x − 3) = 0
→ x = 2 y x = 3
Explicación
Caso ax² = b:
Despeja x²: x² = b/a → x = ±√(b/a)
Solo tiene solución real si b/a ≥ 0.
Caso (ax + b)² = c:
Toma raíz cuadrada: ax + b = ±√c
Resuelve las dos ecuaciones lineales por separado.
Solo tiene solución real si c ≥ 0.
Caso ax² + bx = 0:
Saca factor común x: x(ax + b) = 0
Siempre tiene dos soluciones: x = 0 y x = −b/a
Caso ax² + bx + c = 0:
Método 1 — Factorización: busca dos números cuya suma = b/a y producto = c/a.
Método 2 — Fórmula cuadrática: x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)
El discriminante Δ = b²−4ac determina el número de soluciones:
Δ > 0 → dos soluciones Δ = 0 → una solución Δ < 0 → sin solución real