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Ecuaciones cuadráticas
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Ecuaciones cuadráticas

Resolver, de manera concreta, pictórica y simbólica, ecuaciones cuadráticas de la forma: ax^2 = b; (ax + b)^2 = c; ax^2 + bx = 0; ax^2 + bx = c.

Ejemplo

Para resolver 3x² - 6x = 0:

  • Paso 1: Identifica el factor común, que es 3x.
  • Paso 2: Factoriza la expresión: 3x(x - 2) = 0.
  • Paso 3: Igualas cada factor a cero: 3x = 0 implica x = 0; y (x - 2) = 0 implica x = 2.
  • Solución final: x = 0, x = 2.

Si el lado de un patio es (2x + 3) m y su área es 49 m², planteamos la ecuación: (2x + 3)² = 49.
Aplicamos raíz cuadrada en ambos lados: 2x + 3 = 7 (tomamos el valor positivo).
Despejamos x restando 3: 2x = 4, y luego dividiendo por 2: x = 2.

Si la ecuación simbólica fuera x² + 3x = 28, el primer paso del razonamiento inverso es reconocer que debemos reorganizar la igualdad para buscar los factores o valores que satisfacen la relación. Esto se logra igualando la expresión a cero: x² + 3x - 28 = 0. Una vez planteada esta estructura inversa, se procede a factorizar o aplicar métodos de resolución, deteniéndonos aquí sin calcular el valor final de x.

Explicación

Debes aplicar la factorización por factor común en ecuaciones cuadráticas simbólicas de la forma ax² + bx = 0. La destreza consiste en extraer la variable x como factor común y utilizar la propiedad del producto nulo para identificar las dos soluciones.

Debes aplicar la resolución de ecuaciones cuadráticas de la forma (ax + b)² = c en un contexto geométrico simbólico. Se espera que extraigas los datos del problema de área, plantees la igualdad y despejes la incógnita utilizando la raíz cuadrada, seleccionando solo la solución positiva por corresponder a una medida física.

Debes aplicar el razonamiento inverso sobre la representación simbólica de la ecuación cuadrática para recuperar el valor original. En lugar de evaluar la expresión directa, identifica qué operaciones algebraicas reversas permiten aislar la incógnita partiendo del resultado total conocido.

1)

Francisco está diseñando un patio cuadrado. El lado del patio está dado por la expresión (3x + 3) metros, y el área total construida es de 81 m². Modelando la situación con la ecuación (3x + 3)^2 = 81, ¿cuál es el valor de 'x' que cumple con esta condición (considerando la medida positiva)?

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2)

Piensa en un número positivo. Eleva ese número al cuadrado y luego súmale 9 veces ese mismo número. El resultado final es 220. Aplicando la relación inversa de la ecuación cuadrática x² + 9x = 220, ¿cuál es el número inicial?

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3)

Piensa en un número positivo. Eleva ese número al cuadrado y luego súmale 6 veces ese mismo número. El resultado final es 5. Aplicando la relación inversa de la ecuación cuadrática x² + 6x = 5, ¿cuál es el número inicial?

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4)

Cristóbal está diseñando un patio cuadrado. El lado del patio está dado por la expresión (3x + 2) metros, y el área total construida es de 121 m². Modelando la situación con la ecuación (3x + 2)^2 = 121, ¿cuál es el valor de 'x' que cumple con esta condición (considerando la medida positiva)?

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5)

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática por factorización. ¿Cuáles son sus soluciones (raíces)?

3x^2 + 33x = 0

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6)

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática por factorización. ¿Cuáles son sus soluciones (raíces)?

7x^2 - 77x = 0

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7)

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática por factorización. ¿Cuáles son sus soluciones (raíces)?

4x^2 - 8x = 0

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8)

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática por factorización. ¿Cuáles son sus soluciones (raíces)?

2x^2 - 10x = 0

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9)

Piensa en un número positivo. Eleva ese número al cuadrado y luego réstale 4 veces ese mismo número. El resultado final es 32. Aplicando la relación inversa de la ecuación cuadrática x² - 4x = 32, ¿cuál es el número inicial?

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10)

Piensa en un número positivo. Eleva ese número al cuadrado y luego réstale 6 veces ese mismo número. El resultado final es 27. Aplicando la relación inversa de la ecuación cuadrática x² - 6x = 27, ¿cuál es el número inicial?

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