Representación en el plano de Argand-Gauss
Resolver problemas de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos C,
en forma pictórica, simbólica y con uso de herramientas tecnológicas.
(Foco OA:001A - Introducción, discriminante y representación en el plano complejo)
Ejemplo
1. Análisis progresivo (Abre hacia abajo):
Función: \( y = -x^2 + 2x - 5 \) (Gráfica con vértice bajo el eje X).
Ecuación: \( 0 = -x^2 + 2x - 5 \)
Discriminante: \( d = 2^2 - 4(-1)(-5) = 4 - 20 = -16 \).
Soluciones: \( x = rac{{-2 \pm \sqrt{{-16}}}}{{-2}} = rac{{-2 \pm 4i}}{{-2}} = 1 \mp 2i \) (que se escribe \( 1 \pm -2i \)).
2. Del gráfico al número:
Si en el plano un vector llega al punto (-2, 3):
Respuesta: \(z = -2 + 3i\)
Explicación
Coherencia Gráfica:
- Si el coeficiente de \(x^2\) es positivo (\(a>0\)), la parábola se abre hacia arriba. Si no corta el eje X, su vértice está por sobre este.
- Si el coeficiente es negativo (\(a<0\)), se abre hacia abajo. Si no corta el eje X, su vértice está bajo este.
Discriminantes Limpios:
Para que el discriminante sea un número negativo 'limpio' (como -4, -16, -36, -64, -100) y las raíces queden enteras sin fracciones, el término \(b\) debe ser par y la estructura debe cumplir que \(b^2 - 4ac = -4K^2\).
Reglas básicas del Plano de Argand-Gauss:
- Un número \(z = a + bi\) es un vector con coordenadas \((a, b)\).
- Si \(b = 0\), el vector yace sobre el eje Real.
- Si \(a = 0\), el vector yace sobre el eje Imaginario.