Representación en el plano de Argand-Gauss

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1️⃣ Modo uno a uno

Resolver problemas de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos C,
en forma pictórica, simbólica y con uso de herramientas tecnológicas.
(Foco OA:001A - Introducción, discriminante y representación en el plano complejo)

Ejemplo

Ejemplo análogo: Dada la gráfica de $ y = x^2 - 4x + 5 $ que no toca el eje X, hallamos sus raíces.

Paso 1: Identificamos coeficientes: $ a=1, b=-4, c=5 $.
Paso 2: Aplicamos fórmula cuadrática: $ x = rac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} $.
Paso 3: Simplificamos el discriminante negativo: $ \sqrt{16 - 20} = \sqrt{-4} = 2i $.
Paso 4: Resultado final: $ x = rac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i $.

Ejemplo análogo: Dado $z = -3 + 5i$, identifiquemos sus partes y cuadrante.

Parte Real: Es el término sin $i$, por lo tanto $Re(z) = -3$.
Parte Imaginaria: Es el coeficiente que acompaña a $i$, por lo tanto $Im(z) = 5$.
Cuadrante: Como la parte real es negativa ($x < 0$) y la imaginaria positiva ($y > 0$), el número se ubica en el II Cuadrante.

Imagina un vector en el plano complejo cuya punta se ubica exactamente en la intersección de la línea vertical x = 3 y la línea horizontal y = -2.

Para encontrar el número complejo asociado, el primer paso del razonamiento inverso es identificar que la coordenada horizontal corresponde a la parte real y la vertical a la imaginaria; por tanto, debes plantear la expresión simbólica comenzando con el valor real positivo tres seguido de la parte imaginaria negativa dos, sin realizar ninguna operación aritmética adicional.

Pensamiento Estratégico:
1. Filtrado: Identifica que el dato temporal es ruido y no afecta al valor de $z$.
2. Modelado: Si la condición fuera 'la parte real es el triple de la imaginaria', se plantea $a = 3b$.
3. Sustitución: Reemplaza esta relación en la segunda ecuación dada para despejar una sola variable.
4. Verificación: Antes de calcular, confirma si los signos obtenidos satisfacen ambas condiciones originales simultáneamente.

Explicación

Debes interpretar la representación pictórica (gráfica SVG) para confirmar que la parábola no corta el eje X, lo que indica soluciones complejas. Luego, aplica la fórmula cuadrática a la expresión simbólica dada para calcular algebraicamente las raíces en la forma a ± bi.

Debes identificar la estructura simbólica del número complejo $z = a + bi$ para extraer su parte real ($a$), su parte imaginaria ($b$) o determinar su ubicación en el plano según los signos de sus componentes. Esta destreza requiere reconocer notación algebraica y relacionar signos con cuadrantes sin apoyo gráfico.

Debes aplicar el razonamiento inverso para traducir una representación pictórica en el plano de Argand-Gauss a su forma simbólica. Observa la posición del vector y deduce las coordenadas (parte real e imaginaria) que lo generan, entendiendo que la gráfica es el resultado de dichos valores numéricos.

Este desafío simbólico requiere traducir enunciados verbales a un sistema de ecuaciones algebraicas para hallar las componentes del número complejo. Debes identificar y descartar datos irrelevantes (ruido) antes de plantear las relaciones entre la parte real e imaginaria.

1) Se ha graficado la función asociada a el borde de una hoja metálica cortada por láser. Al no existir intersecciones reales con el eje abscisa, ¿cuál es el conjunto solución complejo de $ 0 = \( x^2 - 4x + 8 $ \)?

Selecciona una opción:

A ) $ x = 2 \pm 4i $

B ) No tiene soluciones

C ) $ x = -2 \pm 2i $

D ) $ x = 2 \pm 2i $

2) Se define \Gamma como un coeficiente de reflexión tal que su parte real es el opuesto de su parte imaginaria. Además, se sabe que el doble de su parte real sumado a su parte imaginaria es igual a -20. Determine \Gamma.

Selecciona una opción:

A ) -20 + 40i

B ) -20 - 20i

C ) -20 + 20i

D ) 20 - 20i

3) Dado el número complejo $ -2 - i $, ¿cuál es su parte real?

Selecciona una opción:

A ) 1

B ) 2

C ) -2

D ) -1

4) Analiza la representación visual de el perfil de una antena parabólica en desuso. Como el discriminante es negativo, las soluciones no son reales. Encuentra las raíces complejas de la ecuación $ 0 = \( x^2 - 4x + 53 $ \).

Selecciona una opción:

A ) No tiene soluciones

B ) $ x = 2 \pm 7i $

C ) $ x = 2 \pm 3i $

D ) $ x = -2 \pm 7i $

5) Dado el número complejo $ 4 - 4i $, ¿cuál es su parte real?

Selecciona una opción:

A ) 4

B ) -4

6) Dado el número complejo $ 3 + i $, ¿cuál es su parte imaginaria (el valor que acompaña a i)?

Selecciona una opción:

A ) -3

B ) 3

C ) -1

D ) 1

7) Observa el plano de Argand-Gauss. ¿Cuál es el número complejo que representa al vector mostrado?

Selecciona una opción:

A ) $-2 - 4i$

B ) $2 - 4i$

C ) $2 + 4i$

D ) $-4 + 2i$

8) Observa el plano de Argand-Gauss. ¿Cuál es el número complejo que representa al vector mostrado?

Selecciona una opción:

A ) $-2 - 2i$

B ) $2 + 2i$

C ) $2 - 2i$

D ) $-2 + 2i$

9) Observa el plano de Argand-Gauss. ¿Cuál es el número complejo que representa al vector mostrado?

Selecciona una opción:

A ) $4 - 2i$

B ) $2 + 4i$

C ) $4 + 2i$

D ) $-4 + 2i$

10) Un estudiante modela un valor propio de una matriz \lambda donde la componente real anula a la imaginaria en signo. Si al calcular $ 2 \cdot Re(\lambda) + Im(\lambda) $ obtiene -2, entonces \lambda es:

Selecciona una opción:

A ) 2 - 2i

B ) -2 + 2i

C ) 0 - 4i

D ) -4 + 2i