Multiplicación por escalares, por i y FOIL
Resolver problemas de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos C,
en forma pictórica, simbólica y con uso de herramientas tecnológicas.
(Foco OA:001C - Multiplicación, transformaciones geométricas y potencias de i)
Ejemplo
1. Multiplicar por \(i\) (Rotación):
\( (2 + 3i) \cdot i = 2i + 3i^2 = 2i + 3(-1) = -3 + 2i \)
Geométricamente, el vector giró 90° en sentido antihorario.
2. Multiplicación FOIL:
\( (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2 \)
Ojo con \(i^2 = -1\): \( = 2 - i - 6(-1) = 8 - i \)
Explicación
Escalares (\(k \cdot z\)):
- Si \(k > 1\): El vector se dilata (crece) en la misma dirección.
- Si \(0 < k < 1\): El vector se contrae (achica) en la misma dirección.
- Si \(k < 0\): El vector cambia de dirección (se invierte respecto al origen).
Multiplicar por \(i\):
Multiplicar cualquier número complejo por \(i\) equivale a rotarlo 90° en sentido antihorario.
- \(z \cdot i^1\): Rota 90°
- \(z \cdot i^2 = z \cdot (-1)\): Rota 180° (se invierte)
- \(z \cdot i^3\): Rota 270°
- \(z \cdot i^4 = z \cdot 1\): Rota 360° (vuelve al original)
Para potencias grandes de \(i\), siempre se divide el exponente entre 4 y se analiza el resto.
Multiplicación FOIL:
Se aplica la propiedad distributiva igual que con polinomios, con la regla de oro: \(i^2 = -1\).