División algebraica y condiciones de resultados
Resolver problemas de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos C,
en forma pictórica, simbólica y con uso de herramientas tecnológicas.
(Foco OA:001E - Racionalización de denominadores y análisis de casos especiales)
Ejemplo
1. División Estándar:
\( rac{{3 + i}}{{1 - i}}\)
Multiplicamos por el conjugado del denominador:
\( rac{{(3 + i)(1 + i)}}{{(1 - i)(1 + i)}} = rac{{3 + 3i + i - 1}}{{1 + 1}} = rac{{2 + 4i}}{{2}} = 1 + 2i\)
2. Dividir por \(i\):
Para eliminar la \(i\) del denominador, recordamos que \(i \cdot (-i) = -i^2 = 1\).
\( rac{{4}}{{i}} = rac{{4 \cdot (-i)}}{{i \cdot (-i)}} = rac{{-4i}}{{1}} = -4i\)
Explicación
¿Por qué racionalizar?
En matemáticas, no se acostumbra dejar raíces o números imaginarios en el denominador de una fracción. Para eliminar la \(i\) del denominador, usamos una propiedad del conjugado: \(z \cdot ar{z}\) da un número real.
El proceso:
Si el denominador es \(c - di\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por \(c + di\).
- El denominador se convierte en \(c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2\) (un número real sin \(i\)).
- El numerador se resuelve usando la propiedad distributiva (FOIL), ¡cuidando siempre de aplicar \(i^2 = -1\)!
Casos Especiales:
- Si queremos que el resultado sea Real Puro, la parte imaginaria del numerador debe ser 0: \(ad = bc\).
- Si queremos que sea Imaginario Puro, la parte real del numerador debe ser 0: \(ac = -bd\).