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Exploración y propiedades de la función logaritmo
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Exploración y propiedades de la función logaritmo

Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento,
que involucran las funciones exponencial y logarítmica...
(Foco OA:003B - Construcción del logaritmo como exponente y sus propiedades básicas)

Ejemplo

Relación Fundamental:
El logaritmo en base 10 de un número 'y' es el exponente al que se debe elevar el 10 para obtener 'y'.
Si \( 10^x = y \), entonces \( \log_{10}(y) = x \).

Ejemplos:
\( 10^3 = 1000 \implies \log_{10}(1000) = 3 \)
\( 10^{-2} = 0.01 \implies \log_{10}(0.01) = -2 \)
\( 10^0 = 1 \implies \log_{10}(1) = 0 \)

Explicación

La función logaritmo en base 10, denotada como \( \log_{10}(x) \) o simplemente \( \log(x) \), es la función inversa de la exponencial \( f(x) = 10^x \).

Propiedades clave:

  • \( \log(A \cdot B) = \log(A) + \log(B) \) (El producto se transforma en suma).
  • \( \log\left(\frac{A}{B} ight) = \log(A) - \log(B) \) (El cociente se transforma en resta).
  • \( \log(1) = 0 \) y \( \log(10) = 1 \).

Dominio: Solo existen logaritmos de números positivos (\( x > 0 \)). No se puede calcular el logaritmo de cero ni de números negativos en los reales.

Comportamiento: Crece de forma muy lenta. Mientras que \( 10^x \) crece explosivamente hacia el infinito, \( \log(x) \) sube muy gradualmente.

1) Dada la expresión exponencial \( 10^{4} = 10000 \), ¿cuál es su forma logarítmica equivalente?

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2) ¿A qué equivale \( \log_{10}(100) \)?

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3) Francisco explica a un compañero: 'En vez de ver el número 0.01, se considera -2 como representante'. ¿Qué propiedad matemática fundamenta esta afirmación?

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4) Utilizando las propiedades de los logaritmos, si sabemos que \( \log(10^{2}) = 2 \) y \( \log(10^{1}) = 1 \), ¿cuál es el valor de \( \log(10^{2} \cdot 10^{1}) \)?

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5) Según la propiedad del cociente logarítmico, \( \log\left(\frac{10^{7}}{10^{2}} ight) \) es equivalente a:

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6) ¿Cuáles son los valores correctos para \( \log_{10}(1) \) y \( \log_{10}(10) \) respectivamente?

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7) Respecto a la función logarítmica \( f(x) = \log_{10}(x) \), ¿cuál es su dominio (valores permitidos para \(x\))?

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8) En el gráfico de la función \( f(x) = \log_{10}(x) \), se encuentra el punto de coordenadas \( (0.1, -1) \). ¿Qué significa esto matemáticamente?

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9) Sin usar calculadora, entre qué dos números enteros consecutivos se encuentra el valor de \( \log_{10}(500) \)?

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10) Tania observa en un programa que la gráfica de \( f(x) = \log_{10}(x) \) pasa por los puntos (0.1; -1), (1; 0) y (10; 1). ¿Qué característica describe correctamente el comportamiento de esta función?

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