Exploración y propiedades de la función logaritmo

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Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento,
que involucran las funciones exponencial y logarítmica...
(Foco OA:003B - Construcción del logaritmo como exponente y sus propiedades básicas)

Ejemplo

Relación Fundamental:
El logaritmo en base 10 de un número 'y' es el exponente al que se debe elevar el 10 para obtener 'y'.
Si \( 10^x = y \), entonces \( \log_{10}(y) = x \).

Ejemplos:
\( 10^3 = 1000 \implies \log_{10}(1000) = 3 \)
\( 10^{-2} = 0.01 \implies \log_{10}(0.01) = -2 \)
\( 10^0 = 1 \implies \log_{10}(1) = 0 \)

Explicación

La función logaritmo en base 10, denotada como \( \log_{10}(x) \) o simplemente \( \log(x) \), es la función inversa de la exponencial \( f(x) = 10^x \).

Propiedades clave:

\( \log(A \cdot B) = \log(A) + \log(B) \) (El producto se transforma en suma).
\( \log\left(\frac{A}{B} ight) = \log(A) - \log(B) \) (El cociente se transforma en resta).
\( \log(1) = 0 \) y \( \log(10) = 1 \).

Dominio: Solo existen logaritmos de números positivos (\( x > 0 \)). No se puede calcular el logaritmo de cero ni de números negativos en los reales.

Comportamiento: Crece de forma muy lenta. Mientras que \( 10^x \) crece explosivamente hacia el infinito, \( \log(x) \) sube muy gradualmente.

1) Dada la expresión exponencial \( 10^{-2} = 0.10 \), ¿cuál es su forma logarítmica equivalente?

Selecciona una opción:

\( \log_{10}(0.10) = 1 \)
\( \log_{10}(-2) = 0.10 \)
\( \log_{10}(0.10) = -2 \)
\( \log_{0.10}(-2) = 10 \)

2) ¿A qué equivale \( \log_{10}(10000) \)?

Selecciona una opción:

8
4
100000

3) Francisco explica a un compañero: 'En vez de ver el número 0.01, se considera -2 como representante'. ¿Qué propiedad matemática fundamenta esta afirmación?

Selecciona una opción:

\( 10^{-2} = 0.01 \), por lo tanto \( \log_{10}(0.01) = -2 \).
\( 0.01^{-2} = 10 \), por lo tanto \( \log_{0.01}(10) = -2 \).
\( 10^{0.01} = -2 \), por lo tanto \( \log_{10}(0.01) = 10 \).
\( -2^{10} = 0.01 \), por lo tanto \( \log_{10}(-2) = 0.01 \).

4) Utilizando las propiedades de los logaritmos, si sabemos que \( \log(10^{4}) = 4 \) y \( \log(10^{3}) = 3 \), ¿cuál es el valor de \( \log(10^{4} \cdot 10^{3}) \)?

Selecciona una opción:

12
1
7
10000000

5) Según la propiedad del cociente logarítmico, \( \log\left(\frac{10^{5}}{10^{3}} ight) \) es equivalente a:

Selecciona una opción:

\( \frac{\log(10^{5})}{\log(10^{3})} = 1.67 \)
\( \log(10^{5}) \cdot \log(10^{3}) = 15 \)
\( \log(10^{5}) - \log(10^{3}) = 2 \)
\( \log(10^{5}) + \log(10^{3}) = 8 \)

6) ¿Cuáles son los valores correctos para \( \log_{10}(1) \) y \( \log_{10}(10) \) respectivamente?

Selecciona una opción:

1 y 10
1 y 0
10 y 1
0 y 1

7) Respecto a la función logarítmica \( f(x) = \log_{10}(x) \), ¿cuál es su dominio (valores permitidos para \(x\))?

Selecciona una opción:

Todos los números reales (\( \mathbb{R} \)).
Solo los números enteros positivos.
Solo los números reales positivos (\( x > 0 \)).
Solo los números reales mayores o iguales a cero (\( x \ge 0 \)).

8) En el gráfico de la función \( f(x) = \log_{10}(x) \), se encuentra el punto de coordenadas \( (1000, 3) \). ¿Qué significa esto matemáticamente?

Selecciona una opción:

Que \( 10^{3} = 1000 \).
Que \( 1000^{3} = 10 \).
Que \( \log_{10}(3) = 1000 \).
Que \( 1000 \cdot 10 = 3 \).

9) Sin usar calculadora, entre qué dos números enteros consecutivos se encuentra el valor de \( \log_{10}(2500) \)?

Selecciona una opción:

Entre 0 y 1
Entre 4 y 5
Entre 3 y 4
Entre 2 y 3

10) Tania observa en un programa que la gráfica de \( f(x) = \log_{10}(x) \) pasa por los puntos (0.1; -1), (1; 0) y (10; 1). ¿Qué característica describe correctamente el comportamiento de esta función?

Selecciona una opción:

La función no está definida para valores mayores a 10.
Es una función creciente que pasa por el origen (0,0).
Es una función decreciente que tiende al infinito negativo.
Es una función creciente que cruza el eje X en x=1, y crece muy lentamente respecto a la función exponencial.