Modelación exponencial con base e y linealización

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Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento,
que involucran las funciones exponencial y logarítmica...
(Foco OA:003D - Uso de base e, método de linealización con ln(y) y evaluación de modelos)

Ejemplo

Método de Linealización de Fabiola:
Si tienes un modelo exponencial \( y = c \cdot e^{kx} \), puedes aplicar logaritmo natural a ambos lados:
\( \ln(y) = \ln(c \cdot e^{kx}) \)
Por propiedades de los logaritmos: \( \ln(y) = \ln(c) + \ln(e^{kx}) \)
Como \( \ln(e) = 1 \), esto se simplifica a: \( \ln(y) = kx + \ln(c) \)
Esto es la ecuación de una recta \( Y = mx + n \), donde la pendiente \( m = k \) y el intercepto \( n = \ln(c) \).

Explicación

El número \( e \) (aproximadamente 2.718) es la base natural para modelar crecimiento continuo en la naturaleza y en redes sociales.

Modelo: \( f(x) = c \cdot e^{kx} \)

\( c \): Valor inicial (cuando \( x = 0 \)).
\( k \): Tasa de crecimiento continuo.

Linealización: Para encontrar \( c \) y \( k \) a partir de datos reales, aplicamos logaritmo natural (\( \ln \)) a los valores \( y \). Esto transforma la curva exponencial en una recta (\( \ln(y) = kx + \ln(c) \)), facilitando el cálculo de los parámetros usando la pendiente y el intercepto.

Limitaciones: Este modelo describe un momento acotado (ej. el pico de un trending topic). A largo plazo, el interés decae, por lo que el modelo exponencial pierde precisión si se extrapola demasiado en el tiempo.

1) Al aplicar logaritmo natural a la función \( f(x) = c \cdot e^{kx} \), Fabiola obtiene la ecuación de una recta: \( \ln(y) = 2x + 1 \). ¿Cuáles son los valores de los parámetros \( k \) y \( c \) en el modelo exponencial original?

Selecciona una opción:

\( k = 1 \) y \( c = 2 \)
\( k = e^{1} \) y \( c = 2 \)
\( k = 2 \) y \( c = e^{1} \)
\( k = \ln(2) \) y \( c = \ln(1) \)

2) Se modela la viralidad de un hashtag con la función \( f(x) = 100 \cdot e^{0.1x} \), donde \( x \) representa los días. ¿Cuál es el valor aproximado de las búsquedas en el día 2?

Selecciona una opción:

122.14
794.27
122.14
20.00

3) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas demuestra correctamente por qué el modelo \( y = c \cdot e^{kx} \) se puede transformar en una recta \( \ln(y) = mx + n \)?

Selecciona una opción:

\( \ln(c \cdot e^{kx}) = \ln(c) + e^{kx} = \ln(c) + kx \)
\( \ln(c \cdot e^{kx}) = \ln(c) + \ln(k) + \ln(x) \)
\( \ln(c \cdot e^{kx}) = \ln(c) + \ln(e^{kx}) = kx + \ln(c) \)
\( \ln(c \cdot e^{kx}) = \ln(c) \cdot \ln(e^{kx}) = \ln(c) \cdot kx \)

4) Al linealizar datos de un trending topic, obtienes los puntos \( (1, 3) \) y \( (3, 9) \) en el gráfico donde el eje Y es \( \ln(y) \). ¿Cuál es el valor de la pendiente \( m \) (que corresponde al parámetro \( k \) del modelo exponencial)?

Selecciona una opción:

6
0.3
2
3

5) Usando la pendiente calculada previamente (3) y el punto \( (1, 3) \), ¿cuál es el valor del intercepto \( n \) en la recta \( \ln(y) = mx + n \)?

Selecciona una opción:

6
0
6
9

6) Si el intercepto de la recta linealizada es \( n = 0 \), ¿cuál es el valor del parámetro \( c \) en el modelo exponencial \( y = c \cdot e^{kx} \)?

Selecciona una opción:

0
0.00
No definido
1.00

7) Basado en tus cálculos previos (pendiente \( k = 3 \) y parámetro \( c pprox 1.00 \)), ¿cuál es la función exponencial que modela estos datos?

Selecciona una opción:

\( y = 1.00 \cdot e^{3x} \)
\( y = 1.00 \cdot x^{e} \)
\( y = 1.00 \cdot e^{x + 3} \)
\( y = 3 \cdot e^{1.00x} \)

8) Al evaluar un modelo exponencial de un trending topic, el dato real medido en un día específico es de 60 unidades, mientras que la función matemática predice 54 unidades. ¿Cuál es el error absoluto de la predicción?

Selecciona una opción:

114 unidades
6 unidades
3240 unidades
10.0\%

9) El modelo \( f(x) = c \cdot e^{kx} \) ajusta perfectamente la fase de 'despegue explosivo' del #IceBucketChallenge entre el 10 y 19 de agosto. Sin embargo, si intentamos usar este mismo modelo para predecir las búsquedes en el mes de septiembre, los datos reales serán mucho menores que los del modelo. ¿Por qué ocurre esto?

Selecciona una opción:

Porque el parámetro \( k \) se vuelve negativo automáticamente al terminar agosto.
Porque Google Trends borra los datos antiguos.
Porque el modelo exponencial asume crecimiento infinito, pero el interés en redes sociales es pasajero y decae naturalmente, por lo que el modelo pierde validez fuera de ese intervalo acotado.
Porque la base \( e \) es muy grande y la calculadora redondea los valores.

10) Un community manager usa el modelo \( f(x) = 50 \cdot e^{0.4x} \) para predecir la viralidad de un video, donde \( x \) son días desde su publicación. Si el video fue publicado el 1 de junio, ¿para qué fecha el modelo predice que la viralidad superará por primera vez los 200 reproducciones virales?

Selecciona una opción:

El 20 de junio (después de tres semanas).
El 5 de junio (aproximadamente al cuarto día).
El 1 de junio (el mismo día de publicación).
El modelo nunca supera los 200.