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Estandarización y Uso de la Tabla Z
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Estandarización y Uso de la Tabla Z

Estandarizar variables aleatorias normales usando Z = (X - μ) / σ.
Utilizar la tabla de probabilidad Z para calcular P(X < a), P(X > a)
y P(a < X < b), y resolver problemas inversos.

Ejemplo

Cálculo de Z:
μ = 100, σ = 15, X = 130.
Z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2,0

Probabilidad entre dos valores:
Si Z1 = -1 y Z2 = 1. Sabemos que P(Z < -1) = 0,1587 y P(Z < 1) = 0,8413.
P(-1 < Z < 1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 (Aprox 68%).

Explicación

Para comparar datos de distintas distribuciones normales o usar la tabla de probabilidades, primero debemos estandarizar el dato.

La fórmula de estandarización es: Z = (X - μ) / σ. Esto convierte cualquier distribución N(μ, σ) en una N(0, 1), llamada Normal Estándar.

La Tabla Z entrega la probabilidad acumulada, es decir, el área bajo la curva desde menos infinito hasta Z. (P(Z < z)).

  • Para calcular P(X < a): Estandarizamos 'a' y buscamos en la tabla.
  • Para calcular P(X > a): Buscamos P(Z < z) y luego restamos 1. (P(Z > z) = 1 - P(Z < z)).
  • Para calcular P(a < X < b): Calculamos los Z de ambos y restamos: P(Z < z2) - P(Z < z1).

Si nos dan un Z y piden el valor X original, despejamos la fórmula: X = μ + Z * σ.

1) Los datos de el tiempo de viaje al trabajo se distribuyen normalmente (μ = 32, σ = 11). ¿Cuál es la probabilidad de que un dato elegido al azar sea mayor a 15 minutos?
(Pista: Calcula Z. La tabla entrega P(Z < -1.5) = 0,0668)

Selecciona una opción:

2) Los datos sobre el rendimiento de computadores distribuyen normalmente con media 700 puntos y desviación estándar 131 puntos. Si se escoge un dato con valor X = 634 puntos, ¿cuál es su puntaje Z? (Recuerda la fórmula: Z = (X - μ) / σ)

Selecciona una opción:

3) Los datos de el peso de paquetes de envío se distribuyen normalmente (μ = 1315, σ = 107). ¿Cuál es la probabilidad de que un dato elegido al azar sea mayor a 1208 gramos?
(Pista: Calcula Z. La tabla entrega P(Z < -1.0) = 0,1587)

Selecciona una opción:

4) Los datos de las notas de un curso se distribuyen normalmente (μ = 43, σ = 9). ¿Cuál es la probabilidad de que un dato elegido al azar sea mayor a 38 puntos?
(Pista: Calcula Z. La tabla entrega P(Z < -0.5) = 0,3085)

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5) Si la variable de la vida útil de ampolletas LED es normal (μ = 3964, σ = 370), ¿cuál es la probabilidad de que un dato se encuentre entre 3779 y 4519 horas?
(Pista: P(Z < -0.5) = 0,3085 y P(Z < 1.5) = 0,9332)

Selecciona una opción:

6) Los datos sobre el peso de paquetes de envío distribuyen normalmente con media 546 gramos y desviación estándar 167 gramos. Si se escoge un dato con valor X = 212 gramos, ¿cuál es su puntaje Z? (Recuerda la fórmula: Z = (X - μ) / σ)

Selecciona una opción:

7) Para los datos de el tiempo de viaje al trabajo (μ = 54, σ = 8), se sabe que un dato se encuentra en el percentil superior, con un Z = 1.0 (es decir, P(Z < 1.0) = 0,8413). ¿Cuál es el valor de X en minutos? (Recuerda despejar: X = μ + Z * σ)

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8) En un estudio sobre la vida útil de ampolletas LED (μ = 2999, σ = 320), se elige un dato al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que su valor sea menor a 3319 horas?
(Pista: Calcula Z y busca en la tabla. P(Z < 1.0) = 0,8413)

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9) En un estudio sobre el tiempo de viaje al trabajo (μ = 54, σ = 9), se elige un dato al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que su valor sea menor a 58 minutos?
(Pista: Calcula Z y busca en la tabla. P(Z < 0.5) = 0,6915)

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10) Para los datos de las notas de un curso (μ = 55, σ = 6), se sabe que un dato se encuentra en el percentil superior, con un Z = 2.0 (es decir, P(Z < 2.0) = 0,9772). ¿Cuál es el valor de X en puntos? (Recuerda despejar: X = μ + Z * σ)

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