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Intersección de Rectas y Circunferencias
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Intersección de Rectas y Circunferencias

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas mediante sustitución analítica.

Ejemplo

Paso 1: Dada la circunferencia x² + y² = 25 y la recta y = (4/3)x, sustituimos y en la primera ecuación:
x² + ((4/3)x)² = 25 → x² + (16/9)x² = 25.
Paso 2: Sumamos los términos semejantes: (25/9)x² = 25.
Paso 3: Despejamos x² = 9, entonces x = 3 (primer cuadrante).
Paso 4: Calculamos y = (4/3)(3) = 4. El punto de intersección es (3, 4).

Paso 1: Identificamos las ecuaciones del gráfico: Circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ y Recta $y = rac{4}{3}x$.
Paso 2: Sustituimos $y$ en la circunferencia: $x^2 + ( rac{4}{3}x)^2 = 25 ightarrow x^2 + rac{16}{9}x^2 = 25$.
Paso 3: Sumamos términos semejantes: $ rac{25}{9}x^2 = 25 ightarrow x^2 = 9 ightarrow x = 3$ (positivo por ser 1° cuadrante).
Paso 4: Calculamos $y$ usando la recta: $y = rac{4}{3}(3) = 4$. El punto de impacto es $(3, 4)$.

Imagina una recta que pasa por el origen (0,0) e intersecta una circunferencia en el punto Q(6, 8). Para hallar la pendiente mediante razonamiento inverso, identificamos que el primer paso es plantear la relación $m = rac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ sustituyendo las coordenadas conocidas: $m = rac{8 - 0}{6 - 0}$. Aquí nos detenemos para establecer la estructura del cálculo sin resolver la fracción final.

Explicación

Debes aplicar la destreza de sustitución algebraica para hallar puntos comunes entre figuras geométricas representadas pictóricamente en el SVG. Reemplaza la variable y de la recta en la ecuación simbólica de la circunferencia y despeja x para obtener las coordenadas exactas.

Debes aplicar la sustitución algebraica para encontrar la intersección entre una recta y una circunferencia representadas pictóricamente en el gráfico. El objetivo es reemplazar la variable y de la ecuación lineal dentro de la ecuación cuadrática para determinar las coordenadas exactas del punto de impacto en el primer cuadrante.

Este ejercicio de geometría analítica (simbólico) requiere razonamiento inverso: en lugar de graficar una recta dada su ecuación, debes deducir la pendiente m a partir de un punto de intersección conocido. Debes recordar que la pendiente representa la razón de cambio vertical respecto al horizontal y aplicar la fórmula correspondiente usando el origen como referencia.

1)

Un dron de vigilancia sigue la ruta definida por Si sustituimos y = (84/13)x en la circunferencia x² + y² = 180625, obtenemos los puntos de intersección. ¿Cuál corresponde al primer cuadrante?

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2)

Un modelo de tsunami tiene su origen en el epicentro sísmico (0, 0). El fenómeno se modela con x² + y² = 21904. La línea de costa se modela con la recta y = (35/12)x. Sustituye la recta en la circunferencia usando x² + (m·x)² = r². El impacto ocurre en el primer cuadrante. ¿Cuáles son las coordenadas exactas (x, y) del impacto?

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3)

Un modelo de satélite tiene su origen en el centro planetario (0, 0). El fenómeno se modela con x² + y² = 10404. La trayectoria orbital se modela con la recta y = (15/8)x. Sustituye la recta en la circunferencia usando x² + (m·x)² = r². El intersección ocurre en el primer cuadrante. ¿Cuáles son las coordenadas exactas (x, y) del intersección?

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4)

Un modelo de radar tiene su origen en el antena emisora (0, 0). El fenómeno se modela con x² + y² = 625. La señal reflejada se modela con la recta y = (4/3)x. Sustituye la recta en la circunferencia usando x² + (m·x)² = r². El detección ocurre en el primer cuadrante. ¿Cuáles son las coordenadas exactas (x, y) del detección?

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5)

Una recta que pasa por el origen intersecta a la circunferencia x² + y² = 15625 exactamente en el punto P(44, 117) del primer cuadrante. ¿Cuál es la pendiente (m) de esta recta?

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6)

En un diseño arquitectónico circular, Si sustituimos y = (99/20)x en la circunferencia x² + y² = 40804, obtenemos los puntos de intersección. ¿Cuál corresponde al primer cuadrante?

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7)

Un satélite orbita siguiendo la trayectoria Dada la circunferencia x² + y² = 238144 y la recta y = (60/11)x. Sustituye la recta en la ecuación de la circunferencia. Si la intersección ocurre en el primer cuadrante, ¿cuáles son las coordenadas exactas (x, y)?

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8)

Un satélite orbita siguiendo la trayectoria Dada la circunferencia x² + y² = 44944 y la recta y = (45/28)x. Sustituye la recta en la ecuación de la circunferencia. Si la intersección ocurre en el primer cuadrante, ¿cuáles son las coordenadas exactas (x, y)?

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9)

Un dron de vigilancia sigue la ruta definida por La ecuación x² + y² = 180625 representa una circunferencia cortada por la recta y = (77/36)x. Determina las coordenadas (x, y) del punto de corte en el primer cuadrante.

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10)

Un satélite orbita siguiendo la trayectoria Encuentra el punto de intersección en el primer cuadrante entre la circunferencia x² + y² = 152100 y la recta y = (56/33)x. Recuerda usar x² + (mx)² = r².

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