Tendencias de cambio: máximos, mínimos y puntos de inflexión

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Analiza funciones mediante primera y segunda derivada: identifica máximos, mínimos locales, puntos de inflexión y concavidad. Aplica en contextos de movimiento acelerado, costos empresariales y carreras de atletismo.

Ejemplo

Máximo local: f(x) = -x²+4x-3 → f'(2)=0, f''(2)<0.

Inflexión: f(x)=x³-3x → f''(0)=0, cambio de concavidad.

Atletismo: A: 3 m/s² en 3 s; B: 2,8 m/s² en 3,4 s → Gana B.

Explicación

La primera derivada indica crecimiento/decrecimiento y candidatos a extremos; la segunda derivada informa sobre concavidad y puntos de inflexión. Un punto donde la derivada se anula puede ser máximo, mínimo o inflexión dependiendo del signo de la segunda derivada.

La función f(x) = x² - 6x + 5 tiene derivada f'(x) = 2x - 6. ¿Qué ocurre en x = 3?

Selecciona una opción:

x = 3 es máximo local porque f'(3)=0.
No tiene mínimo ni máximo, es lineal.
x = 3 es mínimo local porque f'(3)=0 y f''(3) > 0.
x = 3 es punto de inflexión porque f'(3)=0.

Analiza f(x) = x³ - 12x. Derivada primera: f'(x) = 3x² - 12 (ceros en ±2); derivada segunda: f''(x) = 6x. ¿Cuáles son sus puntos extremos y de inflexión?

Selecciona una opción:

Máximo local en x = 2, mínimo local en x = -2, sin inflexión.
Máximo local en x = 0, mínimo local en x = ±2.
Solo punto de inflexión en x = 0.
Máximo local en x = -2, mínimo local en x = 2, inflexión en x = 0.

Un tren de carga acelera según s(t) = (1/20)t² (metros). La velocidad instantánea es v(t) = s'(t) = (1/10)t m/s. ¿En qué instante t alcanza 90 km/h? (90 km/h = 25 m/s)

Selecciona una opción:

250 s
90 s
900 s
25 s

Los costos de instalar x paneles solares semanales están modelados por
g(x) = x³ - 9x² + 40x + 94 (miles de pesos).
La tendencia del aumento del costo la da la segunda derivada: g''(x) = 6x - 18. ¿En qué valor de x la tendencia cambia (punto de inflexión)?

Selecciona una opción:

x = 9
x = 1
x = 3
x = 0

Dos atletas compiten en 100 m planos. El atleta A acelera a 3 m/s² durante 3 s; el atleta B acelera a 2,8 m/s² durante 3,4 s. Después ambos mantienen su velocidad máxima hasta la meta. ¿Quién gana y por qué?

Selecciona una opción:

Ambos llegan empatados.
Atleta A, porque tiene mayor aceleración.
Atleta B, porque su mayor tiempo de aceleración le permite una velocidad máxima superior, compensando la menor aceleración.
Atleta A, porque su velocidad máxima es mayor.

En un punto de inflexión, ¿qué comportamiento especial tiene la pendiente de la recta tangente?

Selecciona una opción:

La tangente es horizontal.
La función alcanza un máximo o mínimo.
La pendiente de la tangente deja de disminuir y empieza a aumentar (o viceversa).
La pendiente de la tangente es cero.

Un modelo de movimiento acelerado s(t) = ½ a t² supone aceleración constante. En la realidad, ¿por qué este modelo tiene limitaciones para tiempos muy grandes?

Selecciona una opción:

Porque la velocidad se vuelve negativa.
Porque la aceleración no puede mantenerse indefinidamente debido a la resistencia del aire y límites mecánicos.
Porque el tren siempre frena automáticamente a los 250 s.
Porque la función cuadrática siempre deja de ser válida tras 10 segundos exactos.

Dada f(x) = -x² + 4x - 3. Al derivar: f'(x) = -2x + 4, que se anula en x = 2. La segunda derivada es f''(x) = -2. ¿Qué tipo de punto es x = 2?

Selecciona una opción:

No tiene máximo ni mínimo, solo punto de inflexión.
x = 2 es mínimo local porque f'(2)=0.
x = 2 es máximo local porque f'(2)=0 y f''(2) < 0.
x = 2 es punto de inflexión porque f'(2)=0.

La segunda derivada de una función informa sobre la curvatura de la gráfica. ¿Cuándo es la gráfica cóncava hacia arriba (con forma de «∪»)?

Selecciona una opción:

Cóncava hacia arriba donde f''(x) < 0.
Cóncava hacia abajo donde f''(x) > 0.
Cóncava hacia arriba donde f''(x) > 0.
La concavidad no depende de la segunda derivada.

10)

Para f(x) = x³ - 3x, se tiene f''(x) = 6x. La segunda derivada se anula en x = 0 y cambia de signo. ¿Qué es x = 0?

Selecciona una opción:

x = 0 es punto de inflexión porque f''(0) = 0 y la curvatura cambia.
x = 0 es máximo local porque f'(0)=0.
x = 0 no es un punto especial.
x = 0 es mínimo local porque f'(0)=0.