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Homotecia
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Homotecia

Mostrar que comprenden el concepto de homotecia: relacionándola con la perspectiva, midiendo segmentos para determinar sus propiedades, y aplicándolas en la construcción de objetos y resolución de problemas.

Ejemplo

Homotecia: Es una transformación geométrica que cambia el tamaño de una figura pero no su forma. Todos los puntos se alejan o acercan a un punto fijo llamado centro de homotecia (O).

Factor k: Si k > 1, la figura se agranda. Si 0 < k < 1, se achica. Si k es negativo, la figura se invierte de lado.

Áreas: Si los lados se multiplican por k, las áreas se multiplican por k².

Explicación

La homotecia se relaciona con la perspectiva. Cuando la luz pasa por un agujero (cámara estenopeica) o por el lente del ojo, los rayos se cruzan en un punto y proyectan una imagen invertida y de distinto tamaño, cumpliendo las reglas de la homotecia.

En un mapa a escala 1:N, el factor de homotecia es k = 1/N.

1)

En una homotecia, ¿qué relación existe entre un lado de la figura original y su lado correspondiente en la figura imagen?

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2)

Un alumno construye un móvil con figuras homotéticas. Si un triángulo tiene un área de 15 cm² y se proyecta con un factor de homotecia k = 2, ¿cuál será el área de la nueva figura proyectada?

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3)

Homotecia Homotecia O Original Imagen

En esta homotecia, la imagen (rojo) es más pequeña que la original. ¿Cuál es el valor del factor k?

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4)

Un cuadrado tiene un lado de 5 cm. Si se le aplica una homotecia de factor k = 4, ¿cuánto medirá el lado de la figura imagen?

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5)

¿Cuál de los siguientes dispositivos o fenómenos NO se puede modelar matemáticamente como una homotecia (proyección desde un punto)?

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6)

Si se aplica una homotecia de factor k = 4 a una figura 2D, ¿en qué factor se multiplica su área?

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7)

Homotecia Homotecia O Original Imagen

Observa la figura. El triángulo rojo es la imagen del triángulo azul mediante una homotecia de centro O. ¿Cuál es el factor de escala k?

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8)

Un plano de Santiago está a una escala de 1:12.500. Esto significa que las distancias en el plano son una homotecia de la realidad. Si dos puntos en el plano distan 4 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellos?

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9)

Homotecia con Inversión Homotecia con Inversión O Original Imagen

Observa la figura. La imagen está al lado opuesto del centro O respecto a la original. ¿Cuál de los siguientes valores corresponde al factor k utilizado?

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10)

Si trazas rectas que unan cada vértice de una figura original con su vértice correspondiente en la figura homotética, ¿dónde se intersectan todas estas rectas?

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