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Módulo, conjugado y sus propiedades
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Módulo, conjugado y sus propiedades

Resolver problemas de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos C,
en forma pictórica, simbólica y con uso de herramientas tecnológicas.
(Foco OA:001D - Módulo, distancia, conjugado y reflexión axial)

Ejemplo

1. Módulo y Pitágoras:
Para \(z = 3 + 4i\), el módulo es la distancia al origen:
\( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

2. El Conjugado:
Si \(z = 5 - 2i\), su conjugado es \(ar{z} = 5 + 2i\).
Gráficamente, es un espejo respecto al eje X.

3. Propiedad mágica:
\( z \cdot ar{z} = (5 - 2i)(5 + 2i) = 25 - (2i)^2 = 25 - (-4) = 29 \)
¡Siempre da un número real igual al módulo al cuadrado!

Explicación

Módulo (\(|z|\)):

Representa la longitud del vector o la distancia desde el origen hasta el punto \((a, b)\). Se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Conjugado (\(ar{z}\)):

Se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria: si \(z = a + bi\), entonces \(ar{z} = a - bi\).

  • Geométricamente: Es una reflexión (espejo) del vector respecto al eje Real (eje X).
  • Propiedad de suma: Al sumar un número con su conjugado, las partes imaginarias se anulan: \(z + ar{z} = 2a\) (siempre es un número real).
  • Propiedad de producto: Multiplicar un número por su conjugado elimina la 'i': \(z \cdot ar{z} = a^2 + b^2\). Este resultado es igual a \(|z|^2\).
  • Módulos iguales: Como la reflexión no cambia la distancia al origen, siempre se cumple que \(|z| = |ar{z}|\).

1) ¿Cuál es el módulo del número complejo \( 5 + 12i \)?

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2) Observa los vectores en el plano. ¿Cuál de ellos tiene un módulo \(|w| = 5\)?

Re Im \(v_1\) \(w\) \(v_3\) \(v_4\)

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3) ¿Cuál es el conjugado del número complejo \( -3 + 4i \)?

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4) En el plano se muestra el número complejo \(z\) (azul) y su transformación \(ar{z}\) (verde). ¿Cuál es el valor de \(ar{z}\) si \(z = \( 3 + 2i \)\)?

\(z\) \(ar{z}\)

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5) Calcula el resultado de \( 5 + 12i \) \(\cdot\) \( 5 - 12i \)

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6) Si un número complejo \(z\) tiene parte real igual a 4, ¿cuánto vale \(z + ar{z}\)?

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7) Si el módulo de un número complejo es \(|z| = 5\), ¿cuánto vale \(z \cdot ar{z}\)?

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8) Para cualquier número complejo \(z\) que no sea real, ¿cuál es la parte imaginaria de \(z + ar{z}\)?

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9) Observa la relación geométrica entre el vector \(z\) y el vector \(ar{z}\) en el plano. ¿Qué tipo de transformación representa obtener el conjugado?

\(z\) \(ar{z}\)

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10) Si observas el gráfico anterior, ¿qué relación existe entre el módulo de \(z\) y el módulo de \(ar{z}\)?

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