Módulo, conjugado y sus propiedades
Resolver problemas de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos C,
en forma pictórica, simbólica y con uso de herramientas tecnológicas.
(Foco OA:001D - Módulo, distancia, conjugado y reflexión axial)
Ejemplo
1. Módulo y Pitágoras:
Para \(z = 3 + 4i\), el módulo es la distancia al origen:
\( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
2. El Conjugado:
Si \(z = 5 - 2i\), su conjugado es \(ar{z} = 5 + 2i\).
Gráficamente, es un espejo respecto al eje X.
3. Propiedad mágica:
\( z \cdot ar{z} = (5 - 2i)(5 + 2i) = 25 - (2i)^2 = 25 - (-4) = 29 \)
¡Siempre da un número real igual al módulo al cuadrado!
Explicación
Módulo (\(|z|\)):
Representa la longitud del vector o la distancia desde el origen hasta el punto \((a, b)\). Se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Conjugado (\(ar{z}\)):
Se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria: si \(z = a + bi\), entonces \(ar{z} = a - bi\).
- Geométricamente: Es una reflexión (espejo) del vector respecto al eje Real (eje X).
- Propiedad de suma: Al sumar un número con su conjugado, las partes imaginarias se anulan: \(z + ar{z} = 2a\) (siempre es un número real).
- Propiedad de producto: Multiplicar un número por su conjugado elimina la 'i': \(z \cdot ar{z} = a^2 + b^2\). Este resultado es igual a \(|z|^2\).
- Módulos iguales: Como la reflexión no cambia la distancia al origen, siempre se cumple que \(|z| = |ar{z}|\).