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Aplicación en Circuitos de Corriente Alterna
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Aplicación en Circuitos de Corriente Alterna

Resolver problemas de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos C,
en forma pictórica, simbólica y con uso de herramientas tecnológicas.
(Foco OA:001F - Modelamiento de impedancias usando vectores en el plano complejo)

Ejemplo

1. Construir la Impedancia:
Si \(R = 30\ \Omega\), \(X_L = 40\ \Omega\) y \(X_C = 10\ \Omega\):
Reactancia neta: \(40 - 10 = 30\ \Omega\).
Impedancia compleja: \(Z = 30 + 30i\ \Omega\).

2. Calcular el Módulo (Ley de Pitágoras):
\( |Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} pprox 42.4\ \Omega\).

Explicación

¿Por qué usar números complejos en electricidad?

En corriente alterna (AC), los componentes se comportan de formas distintas:

  • Resistencia (\(R\)): No altera la fase. Va en el eje real.
  • Inductancia (\(X_L\), bobinas): Atrasa la corriente 90°. Se modela como positivo en el eje imaginario (+i).
  • Capacitancia (\(X_C\), condensadores): Adelanta la corriente 90°. Se modela como negativo en el eje imaginario (-i).

Impedancia Compleja (\(Z\)):

Es el vector suma en el plano complejo: \(Z = R + i(X_L - X_C)\).

Valor Real o Módulo (\(|Z|\)):

La magnitud de ese vector nos da la resistencia total efectiva en Ohms, y se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras directamente: \(|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\). Si te dan \(|Z|\), \(R\) y \(X_L\), puedes despejar \(X_C\) usando la misma fórmula.

(Nota: En textos de electricidad a menudo se usa la letra \(j\) en lugar de \(i\) para la unidad imaginaria, para evitar confusiones con la letra \(I\) que representa la corriente eléctrica. Matemáticamente, \(j = i\)).

1) En un circuito de corriente alterna en serie, se tiene una resistencia de \(R = 20\ \Omega\), una inductancia de \(X_L = 50\ \Omega\) y una capacitancia de \(X_C = 30\ \Omega\). ¿Cuál es la impedancia compleja total \(Z\) del circuito? (Nota: Usa \(i\) como unidad imaginaria).

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2) En un circuito de corriente alterna en serie, se tiene una resistencia de \(R = 30\ \Omega\), una inductancia de \(X_L = 30\ \Omega\) y una capacitancia de \(X_C = 10\ \Omega\). ¿Cuál es la impedancia compleja total \(Z\) del circuito? (Nota: Usa \(i\) como unidad imaginaria).

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3) Observa el triángulo de impedancias en el plano complejo para un circuito en serie. Si la resistencia es \(R = 60\ \Omega\) y la reactancia neta es \(X_L - X_C = 80\ \Omega\), ¿cuál es el número complejo que representa al vector \(Z\)?

Re (\(\Omega\)) Im (\(\Omega\)) \(R\) \(X_L - X_C\) \(Z\)

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4) Observa el triángulo de impedancias en el plano complejo para un circuito en serie. Si la resistencia es \(R = 90\ \Omega\) y la reactancia neta es \(X_L - X_C = 120\ \Omega\), ¿cuál es el número complejo que representa al vector \(Z\)?

Re (\(\Omega\)) Im (\(\Omega\)) \(R\) \(X_L - X_C\) \(Z\)

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5) Observa el triángulo de impedancias en el plano complejo para un circuito en serie. Si la resistencia es \(R = 80\ \Omega\) y la reactancia neta es \(X_L - X_C = 150\ \Omega\), ¿cuál es el número complejo que representa al vector \(Z\)?

Re (\(\Omega\)) Im (\(\Omega\)) \(R\) \(X_L - X_C\) \(Z\)

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6) Para un circuito con impedancia compleja \(Z = \( 90 + 120i \)\ \Omega\), ¿cuál es el valor de la impedancia total (el módulo \(|Z|\))?

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7) Para un circuito con impedancia compleja \(Z = \( 120 + 160i \)\ \Omega\), ¿cuál es el valor de la impedancia total (el módulo \(|Z|\))?

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8) En un circuito en serie, se tiene una resistencia \(R = 80\ \Omega\) y una inductancia \(X_L = 300\ \Omega\). Si se mide con un instrumento que la impedancia total es \(|Z| = 170\ \Omega\), ¿cuál es el valor de la capacitancia \(X_C\)?

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9) En un circuito en serie, se tiene una resistencia \(R = 30\ \Omega\) y una inductancia \(X_L = 90\ \Omega\). Si se mide con un instrumento que la impedancia total es \(|Z| = 50\ \Omega\), ¿cuál es el valor de la capacitancia \(X_C\)?

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10) En un circuito en serie, se tiene una resistencia \(R = 120\ \Omega\) y una inductancia \(X_L = 210\ \Omega\). Si se mide con un instrumento que la impedancia total es \(|Z| = 200\ \Omega\), ¿cuál es el valor de la capacitancia \(X_C\)?

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