Aplicación en Circuitos de Corriente Alterna
Resolver problemas de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos C,
en forma pictórica, simbólica y con uso de herramientas tecnológicas.
(Foco OA:001F - Modelamiento de impedancias usando vectores en el plano complejo)
Ejemplo
1. Construir la Impedancia:
Si \(R = 30\ \Omega\), \(X_L = 40\ \Omega\) y \(X_C = 10\ \Omega\):
Reactancia neta: \(40 - 10 = 30\ \Omega\).
Impedancia compleja: \(Z = 30 + 30i\ \Omega\).
2. Calcular el Módulo (Ley de Pitágoras):
\( |Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} pprox 42.4\ \Omega\).
Explicación
¿Por qué usar números complejos en electricidad?
En corriente alterna (AC), los componentes se comportan de formas distintas:
- Resistencia (\(R\)): No altera la fase. Va en el eje real.
- Inductancia (\(X_L\), bobinas): Atrasa la corriente 90°. Se modela como positivo en el eje imaginario (+i).
- Capacitancia (\(X_C\), condensadores): Adelanta la corriente 90°. Se modela como negativo en el eje imaginario (-i).
Impedancia Compleja (\(Z\)):
Es el vector suma en el plano complejo: \(Z = R + i(X_L - X_C)\).
Valor Real o Módulo (\(|Z|\)):
La magnitud de ese vector nos da la resistencia total efectiva en Ohms, y se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras directamente: \(|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\). Si te dan \(|Z|\), \(R\) y \(X_L\), puedes despejar \(X_C\) usando la misma fórmula.
(Nota: En textos de electricidad a menudo se usa la letra \(j\) en lugar de \(i\) para la unidad imaginaria, para evitar confusiones con la letra \(I\) que representa la corriente eléctrica. Matemáticamente, \(j = i\)).