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Construcción y aplicación del modelo exponencial
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Construcción y aplicación del modelo exponencial

Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento,
que involucran las funciones exponencial y logarítmica, de forma manuscrita, con uso de herramientas
tecnológicas y promoviendo la búsqueda, selección, contrastación y verificación de información.
(Foco OA:003A - Transición de recursividad a modelo exponencial y evaluación de parámetros)

Ejemplo

Ejemplo de Crecimiento:
Si partimos con 100 bacterias y crecen un 20% cada hora:
1. El factor de crecimiento es \( q = 1 + 0.20 = 1.2 \)
2. El modelo es \( g(t) = 100 \cdot 1.2^t \)
3. A las 3 horas: \( g(3) = 100 \cdot 1.2^3 = 100 \cdot 1.728 = 172.8 \) bacterias.

Decrecimiento:
Si la población disminuye un 30%, el factor es \( q = 1 - 0.30 = 0.7 \).

Explicación

El modelo exponencial describe fenómenos donde el cambio es proporcional a la cantidad actual.

Fórmula general: \( g(t) = a \cdot q^t \)

  • \( a \): Cantidad inicial (cuando \( t = 0 \)).
  • \( q \): Factor de crecimiento o decrecimiento.
  • \( t \): Tiempo o número de periodos.

Interpretación de \( q \):

  • Si \( q > 1 \): Hay crecimiento (ej: \( q = 1.5 \) significa +50%).
  • Si \( 0 < q < 1 \): Hay decrecimiento (ej: \( q = 0.8 \) significa -20%).

Para encontrar el tiempo de duplicación, se resuelve \( 2a = a \cdot q^t \). La cantidad inicial \( a \) se cancela, demostrando que el tiempo de duplicación solo depende del factor \( q \).

1) Una población de bacterias crece un 10% cada hora. Si el modelo exponencial es \( g(t) = a \cdot q^t \), ¿cuál es el valor del factor de crecimiento \( q \)?

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2) Se sabe que una población cumple la regla recursiva \( g(t+1) = g(t) + 0.2 \cdot g(t) \). Al factorizar esta expresión, se obtiene el modelo exponencial \( g(t) = a \cdot q^t \). ¿Cuál es el valor de \( q \)?

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3) Una población inicial de 1000 elementos crece con un factor \( q=5 \). ¿Cuál será la población después de 2 periodos de tiempo según el modelo \( g(t) = a \cdot q^t \)?

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4) Al inicio de una investigación, se observa un área de 20 m² cubierta de lentejas acuáticas. Si el área crece exponencialmente con un factor diario de 1.5 (50% de aumento), ¿qué tamaño tendrá el área después de 3 días?

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5) Un trending topic en redes sociales tiene un modelo de crecimiento \( g(t) = 100 \cdot 2^t \). ¿Para qué valor de \( t \) la cantidad de búsquedas alcanza los 1600 registros?

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6) Si una población de bacterias se duplica cada 30 minutos, y partimos con una cantidad inicial \( a \). ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite encontrar el tiempo \( t \) (en minutos) necesario para que la población se duplique por primera vez?

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7) Se tiene un modelo de crecimiento exponencial \( g(t) = a \cdot q^t \). Si se calcula el tiempo \( t_d \) en el cual la población se duplica (\( g(t_d) = 2a \)), ¿qué ocurre con este tiempo de duplicación si la población inicial \( a \) cambia?

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8) Se modela la desintegración de un medicamento en el torrente sanguíneo con la función \( h(t) = 80 \cdot 0.75^t \), donde \( t \) es en horas. ¿Qué significa el valor 0.75 en este contexto?

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9) Un estudiante afirma: 'La población de mi cultivo parte con 5000 individuos y decrece un 10% cada día'. ¿Cuál de las siguientes funciones representa correctamente esta situación?

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10) Al usar el modelo exponencial \( g(t) = a \cdot q^t \) para predecir el crecimiento de lentejas de agua en una laguna a lo largo de varios años, el modelo arroja cantidades imposibles que exceden el tamaño de la Tierra. ¿Cuál es la limitación principal del modelo exponencial en este contexto?

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