Construcción y aplicación del modelo exponencial
Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento,
que involucran las funciones exponencial y logarítmica, de forma manuscrita, con uso de herramientas
tecnológicas y promoviendo la búsqueda, selección, contrastación y verificación de información.
(Foco OA:003A - Transición de recursividad a modelo exponencial y evaluación de parámetros)
Ejemplo
Ejemplo de Crecimiento:
Si partimos con 100 bacterias y crecen un 20% cada hora:
1. El factor de crecimiento es \( q = 1 + 0.20 = 1.2 \)
2. El modelo es \( g(t) = 100 \cdot 1.2^t \)
3. A las 3 horas: \( g(3) = 100 \cdot 1.2^3 = 100 \cdot 1.728 = 172.8 \) bacterias.
Decrecimiento:
Si la población disminuye un 30%, el factor es \( q = 1 - 0.30 = 0.7 \).
Explicación
El modelo exponencial describe fenómenos donde el cambio es proporcional a la cantidad actual.
Fórmula general: \( g(t) = a \cdot q^t \)
- \( a \): Cantidad inicial (cuando \( t = 0 \)).
- \( q \): Factor de crecimiento o decrecimiento.
- \( t \): Tiempo o número de periodos.
Interpretación de \( q \):
- Si \( q > 1 \): Hay crecimiento (ej: \( q = 1.5 \) significa +50%).
- Si \( 0 < q < 1 \): Hay decrecimiento (ej: \( q = 0.8 \) significa -20%).
Para encontrar el tiempo de duplicación, se resuelve \( 2a = a \cdot q^t \). La cantidad inicial \( a \) se cancela, demostrando que el tiempo de duplicación solo depende del factor \( q \).