Modelos logarítmicos en contextos físicos: Sismos y Sonido

Iniciar sesión

⏱️ 00:00

Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento,
que involucran las funciones exponencial y logarítmica...
(Foco OA:003C - Aplicación de modelos logarítmicos en escalas de magnitud sísmica y presión sonora)

Ejemplo

Ejemplo Presión Sonora:
Si \( P = 2 \cdot 10^{-3} \) Pa y \( P_0 = 2 \cdot 10^{-5} \) Pa:
\( N_p = 20 \cdot \log\left(\frac{2 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 10^{-5}}\right) = 20 \cdot \log(10^2) = 20 \cdot 2 = 40 \) dB.

Ejemplo Sismos:
Si \( M_0 = 10^{24} \):
\( M_w = \frac{2}{3} \log(10^{24}) - 10,7 = \frac{2}{3}(24) - 10,7 = 16 - 10,7 = 5,3 \).

Explicación

Los modelos logarítmicos permiten manejar escalas muy amplias en la naturaleza:

1. Presión Sonora (Decibelios - dB):
Modelo: \( N_p = 20 \cdot \log\left(\frac{P}{P_0}\right) \)
Donde \( P_0 = 2 \cdot 10^{-5} \) Pa es el umbral audible. Al sumar dos sonidos, no se suman los dB. Se suman los cuadrados de las presiones. Dos sonidos idénticos aumentan ~3 dB; diez sonidos idénticos aumentan 10 dB.

2. Escala de Magnitud de Momento (Sismos):
Modelo: \( M_w = \frac{2}{3}\log(M_0) - 10,7 \)
Donde \( M_0 \) es el momento sísmico (energía). Por cada grado que aumenta \( M_w \), la energía liberada aumenta aproximadamente 31.6 veces (factor de \( 10^{1.5} \)).

1) El nivel de presión sonora se calcula con \( N_p = 20 \cdot \log\left(\frac{P}{P_0}\right) \) dB, donde \( P_0 = 2 \cdot 10^{-5} \) Pa. Si una fuente tiene una presión \( P = 2 \cdot 10^{-2} \) Pa, ¿cuál es su nivel de presión sonora?

Selecciona una opción:

60 dB
70 dB
30 dB
3 dB

2) Si un martillo perforador genera un nivel de presión sonora de 100 dB, ¿cuál es su presión sonora \( P \) medida en pascales? (Considere \( P_0 = 2 \cdot 10^{-5} \) Pa).

Selecciona una opción:

5.0 Pa
2 \cdot 10^{100} Pa
100 \cdot 10^{-5} Pa
2 \cdot 10^{-0} Pa

3) En un taller funcionan simultáneamente dos martinetes idénticos, cada uno con un nivel de presión sonora de 90 dB. Sabiendo que las presiones sonoras se suman cuadráticamente, ¿cuál es el nivel de presión sonora total aproximado?

Selecciona una opción:

180 dB
93 dB
100 dB
90 dB

4) Si una bocina de vehículo emite 80 dB, y en una intersección hay 10 vehículos tocando la bocina simultáneamente con la misma intensidad, ¿cuál será el nivel de presión sonora total?

Selecciona una opción:

800 dB
81 dB
90 dB
100 dB

5) ¿Por qué motivo no se pueden sumar directamente los decibelios (dB) de dos fuentes sonoras distintas para obtener el ruido total?

Selecciona una opción:

Porque el oído humano no percibe más de un sonido a la vez.
Porque el sonido no se puede medir matemáticamente.
Porque los decibelios son una unidad lineal y no se pueden sumar.
Porque los decibelios son una escala logarítmica. Para sumar ruidos, primero se deben convertir a presión sonora (Pascales), sumar los cuadrados de las presiones, y luego volver a convertir a dB.

6) La Escala de Magnitud de Momento se define como \( M_w = \frac{2}{3}\log(M_0) - 10,7 \), donde \( M_0 \) es el momento sísmico. Si un terremoto tiene un momento sísmico de \( M_0 = 10^{24} \) dyna·cm, ¿cuál es su magnitud \( M_w \)?

Selecciona una opción:

5.3
13.3
26.7
-2.7

7) Utilizando la fórmula de la Escala de Magnitud de Momento \( M_w = \frac{2}{3}\log(M_0) - 10,7 \), despeja y calcula el momento sísmico \( M_0 \) de un terremoto de magnitud \( M_w = 7.3 \).

Selecciona una opción:

10^{-3.4}
18.0
10^{27}
10^{18.0}

8) El terremoto de Valdivia (1960) tuvo una magnitud \( M_w = 9.5 \), mientras que el de Constitución (2010) fue de \( M_w = 8.8 \). Aproximadamente, ¿cuántas veces más grande fue el momento sísmico (energía liberada) del terremoto de Valdivia respecto al de Constitución?

Selecciona una opción:

Aproximadamente 10 veces más grande.
Aproximadamente 31 veces más grande.
Aproximadamente 2 veces más grande.
Aproximadamente 100 veces más grande.

9) Si graficamos los datos de varios terremotos poniendo \( \log(M_0) \) en el eje Y y \( M_w \) en el eje X, ¿qué tipo de gráfica se obtiene a partir del modelo \( M_w = \frac{2}{3}\log(M_0) - 10,7 \)?

Selecciona una opción:

Una curva exponencial que sube rápidamente.
Una línea recta decreciente, porque el 10,7 es negativo.
Una parábola con un vértice en el origen.
Una línea recta creciente, porque la relación entre \( \log(M_0) \) y \( M_w \) es lineal.

10) Las normas laborales indican que el uso de protección auditiva es obligatorio en ambientes donde el ruido supera los 85 dB de forma continua. Un trabajador está expuesto a una máquina que genera \( P = 2 \cdot 10^{-2} \) Pa de presión sonora. ¿Qué decisión debe tomar el trabajador basada en el modelo \( N_p = 20 \cdot \log(P/P_0) \)? (Considere \( P_0 = 2 \cdot 10^{-5} \) Pa).

Selecciona una opción:

No necesita protección, ya que el ruido es de 60 dB, lo cual está bajo el límite de 85 dB.
Necesita protección, porque los Pascales no se pueden comparar con dB.
No necesita protección porque la presión es muy pequeña.
Necesita protección, ya que el ruido supera los 85 dB al calcular la presión.