Modelos logarítmicos en contextos físicos: Sismos y Sonido
Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento,
que involucran las funciones exponencial y logarítmica...
(Foco OA:003C - Aplicación de modelos logarítmicos en escalas de magnitud sísmica y presión sonora)
Ejemplo
Ejemplo Presión Sonora:
Si \( P = 2 \cdot 10^{-3} \) Pa y \( P_0 = 2 \cdot 10^{-5} \) Pa:
\( N_p = 20 \cdot \log\left(\frac{2 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 10^{-5}}\right) = 20 \cdot \log(10^2) = 20 \cdot 2 = 40 \) dB.
Ejemplo Sismos:
Si \( M_0 = 10^{24} \):
\( M_w = \frac{2}{3} \log(10^{24}) - 10,7 = \frac{2}{3}(24) - 10,7 = 16 - 10,7 = 5,3 \).
Explicación
Los modelos logarítmicos permiten manejar escalas muy amplias en la naturaleza:
1. Presión Sonora (Decibelios - dB):
Modelo: \( N_p = 20 \cdot \log\left(\frac{P}{P_0}\right) \)
Donde \( P_0 = 2 \cdot 10^{-5} \) Pa es el umbral audible. Al sumar dos sonidos, no se suman los dB. Se suman los cuadrados de las presiones. Dos sonidos idénticos aumentan ~3 dB; diez sonidos idénticos aumentan 10 dB.
2. Escala de Magnitud de Momento (Sismos):
Modelo: \( M_w = \frac{2}{3}\log(M_0) - 10,7 \)
Donde \( M_0 \) es el momento sísmico (energía). Por cada grado que aumenta \( M_w \), la energía liberada aumenta aproximadamente 31.6 veces (factor de \( 10^{1.5} \)).