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Modelamiento Binomial y Fórmula de Bernoulli
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Modelamiento Binomial y Fórmula de Bernoulli

Fundamentar decisiones en situaciones de incerteza a partir del modelo binomial.
Identificar parámetros (n, k, p), calcular probabilidades puntuales y extremas,
y determinar la esperanza matemática y varianza del experimento.

Ejemplo

Ejemplo de Cálculo de Probabilidad Puntual:
Una moneda cargada tiene un 60% de probabilidad de salir sello (p=0,6). Se lanza 4 veces (n=4).
¿Probabilidad de obtener exactamente 2 sellos (k=2)?
Fórmula: P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
P(X=2) = C(4, 2) * (0,6)^2 * (0,4)^(4-2)
P(X=2) = 6 * 0,36 * 0,16 = 0,3456

Ejemplo de Esperanza Matemática:
Si se lanza 10 veces la misma moneda (n=10, p=0,6):
E(X) = n * p = 10 * 0,6 = 6 sellos en promedio.

Explicación

Una distribución binomial modela experimentos aleatorios con 3 características clave:

  • Hay un número fijo de ensayos (n).
  • Cada ensayo tiene solo dos resultados mutuamente excluyentes: éxito (p) o fracaso (1-p).
  • Los ensayos son independientes entre sí.

Fórmula de Bernoulli: P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Donde C(n, k) es el coeficiente combinatorio (las combinaciones posibles de tener k éxitos en n ensayos).

Esperanza Matemática: Es el promedio de éxitos que esperas obtener si repites el experimento muchas veces. Se calcula como E(X) = n * p.

Varianza: Mide la dispersión de los datos respecto a la media. Se calcula como V(X) = n * p * (1-p).

1) En un tratamiento médico experimental, la probabilidad de que el paciente se cure es de un 80%. Si se eligen 7 casos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todos los 7 que el paciente se cure? (Recuerda la fórmula: P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k))

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2) Se analiza una línea de ensamblaje de audífonos donde la probabilidad de que un audífono salga defectuoso es 15%. El experimento consiste en evaluar 7 casos. ¿Cuál es el valor del parámetro 'n'?

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3) En el nacimiento de crías en una granja, la probabilidad de que nazca hembra es de un 50%. Si se realiza el experimento con 4 casos, ¿cuál es el valor esperado (esperanza matemática) de casos que que nazca hembra? (Recuerda la fórmula: E(X) = μ = n * p)

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4) En el nacimiento de crías en una granja, la probabilidad de que nazca hembra es de un 50%. Si se realiza el experimento con 7 casos, ¿cuál es la varianza de la distribución binomial? (Recuerda la fórmula: V(X) = σ² = n * p * (1-p))

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5) En el nacimiento de crías en una granja, la probabilidad de que nazca hembra es de un 50%. Si se eligen 3 casos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno que nazca hembra? (Recuerda la fórmula: P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k))

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6) Se analiza el nacimiento de crías en una granja donde la probabilidad de que nazca hembra es 50%. El experimento consiste en evaluar 3 casos. ¿Cuál es el valor del parámetro 'n'?

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7) En una encuesta de mercado, se sabe que la probabilidad de que una persona prefiera la marca A es de 30%. Si se realizan 6 ensayos independientes, ¿cuál es el valor del parámetro 'p' en la distribución binomial?

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8) En una línea de ensamblaje de audífonos, la probabilidad de que un audífono salga defectuoso es de un 5%. Si se realiza el experimento con 8 casos, ¿cuál es el valor esperado (esperanza matemática) de casos que que un audífono salga defectuoso? (Recuerda la fórmula: E(X) = μ = n * p)

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9) En un tratamiento médico experimental, la probabilidad de que el paciente se cure es de un 90%. Si se realiza el experimento con 3 casos, ¿cuál es la varianza de la distribución binomial? (Recuerda la fórmula: V(X) = σ² = n * p * (1-p))

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10) En una encuesta de mercado, la probabilidad de que una persona prefiera la marca A es de un 30%. Si se eligen 4 casos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todos los 4 que una persona prefiera la marca A? (Recuerda la fórmula: P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k))

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