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Aproximación de la Binomial a la Normal
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Aproximación de la Binomial a la Normal

Evaluar la pertinencia de aproximar un modelo binomial a uno normal.
Calcular los parámetros μ = n*p y σ = √(n*p*(1-p))
y resolver probabilidades con n grande utilizando la Tabla Z.

Ejemplo

Verificación de Pertinencia:
Si n=100 y p=0.2. Entonces n*p = 20 y n*(1-p) = 80. Como ambos son ≥ 5, SÍ se puede aproximar.

Cálculo de Parámetros:
μ = n * p = 100 * 0.2 = 20
σ = √(n * p * (1-p)) = √(100 * 0.2 * 0.8) = √16 = 4

Cálculo de Probabilidad Mayor Que:
P(X > 24). Calculamos Z = (24 - 20) / 4 = 1.0.
La tabla dice P(Z < 1.0) = 0.8413.
P(X > 24) = 1 - 0.8413 = 0.1587

Explicación

Cuando un experimento binomial tiene un tamaño de muestra (n) muy grande, calcular la fórmula de Bernoulli a mano es muy difícil. En estos casos, podemos aproximar la distribución binomial a una distribución normal.

Condición de aproximación: Solo se puede hacer si n*p ≥ 5 y n*(1-p) ≥ 5. Esto asegura que la distribución no esté muy sesgada a los extremos.

Para hacerlo, calculamos los parámetros de la nueva campana normal:

  • La media será la esperanza binomial: μ = n * p
  • La desviación estándar será la raíz de la varianza: σ = √(n * p * (1-p))

Luego, usamos la fórmula de estandarización Z = (X - μ) / σ y buscamos en la Tabla Z, igual que en la distribución normal pura.

1) En un experimento de una línea de producción de frascos (n=100, p=50%), se quiere saber la probabilidad de que haya a lo más 45 casos donde salir con defecto. Usando la aproximación normal:
1. Calcula μ y σ.
2. Calcula Z = (45 - μ) / σ.
3. Usa la tabla Z.
(Pista: El Z calculado es -1.0, y la tabla indica P(Z < -1.0) = 0,1587)

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2) En un tratamiento contra la gripa (n=100, p=50%), se busca la probabilidad de que más de 57 casos cumplan la condición de curar al paciente en 3 días. Usando la aproximación normal:
1. Calcula Z = (57 - μ) / σ.
2. Usa la tabla Z y resta.
(Pista: El Z calculado es 1.5, y la tabla indica P(Z < 1.5) = 0,9332)

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3) En un tratamiento contra la gripa (n=100, p=80%), se busca la probabilidad de que más de 84 casos cumplan la condición de curar al paciente en 3 días. Usando la aproximación normal:
1. Calcula Z = (84 - μ) / σ.
2. Usa la tabla Z y resta.
(Pista: El Z calculado es 1.0, y la tabla indica P(Z < 1.0) = 0,8413)

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4) En un tratamiento contra la gripa, la probabilidad de curar al paciente en 3 días es 50% y se analizan 64 casos. Para aproximar a una distribución normal, se deben calcular los parámetros. ¿Cuáles son los valores correctos de la media (μ) y la desviación estándar (σ)? (Recuerda: μ = n * p y σ = √(n * p * (1-p)))

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5) En un tratamiento contra la gripa, la probabilidad de curar al paciente en 3 días es 20% y se analizan 100 casos. Para aproximar a una distribución normal, se deben calcular los parámetros. ¿Cuáles son los valores correctos de la media (μ) y la desviación estándar (σ)? (Recuerda: μ = n * p y σ = √(n * p * (1-p)))

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6) Se quiere modelar una encuesta de votación donde la probabilidad de preferir al candidato A es de un 80%. Si se toma una muestra de 100 casos, ¿es pertinente aproximar esta distribución binomial a una normal?

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7) En un tratamiento contra la gripa, la probabilidad de curar al paciente en 3 días es 50% y se analizan 36 casos. Para aproximar a una distribución normal, se deben calcular los parámetros. ¿Cuáles son los valores correctos de la media (μ) y la desviación estándar (σ)? (Recuerda: μ = n * p y σ = √(n * p * (1-p)))

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8) En una encuesta de votación (n=36, p=50%), se busca la probabilidad de que más de 24 casos cumplan la condición de preferir al candidato A. Usando la aproximación normal:
1. Calcula Z = (24 - μ) / σ.
2. Usa la tabla Z y resta.
(Pista: El Z calculado es 2.0, y la tabla indica P(Z < 2.0) = 0,9772)

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9) En una línea de producción de frascos, la probabilidad de salir con defecto es 20% y se analizan 25 casos. Para aproximar a una distribución normal, se deben calcular los parámetros. ¿Cuáles son los valores correctos de la media (μ) y la desviación estándar (σ)? (Recuerda: μ = n * p y σ = √(n * p * (1-p)))

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10) En un experimento de una encuesta de votación (n=100, p=80%), se quiere saber la probabilidad de que haya a lo más 88 casos donde preferir al candidato A. Usando la aproximación normal:
1. Calcula μ y σ.
2. Calcula Z = (88 - μ) / σ.
3. Usa la tabla Z.
(Pista: El Z calculado es 2.0, y la tabla indica P(Z < 2.0) = 0,9772)

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