Aproximación de la Binomial a la Normal
Fundamentar decisiones en situaciones de incerteza, a partir del análisis crítico de datos estadísticos y con base en los modelos binomial y normal.
Ejemplo
Datos: $n = 100$, $p = 0.3$, entonces $q = 1 - 0.3 = 0.7$.
Paso 1 (Media): Calculamos $\mu = n \cdot p
ightarrow \mu = 100 \cdot 0.3 = 30$.
Paso 2 (Desviación): Calculamos $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}
ightarrow \sigma = \sqrt{100 \cdot 0.3 \cdot 0.7} = \sqrt{21} pprox 4.58$.
Resultado: Los parámetros son $\mu = 30$ y $\sigma pprox 4.58$.
Supongamos una encuesta con n=80 y probabilidad de éxito p=0.3. Primero calculamos n·p = 80 × 0.3 = 24. Luego calculamos n·(1-p) = 80 × 0.7 = 56.
Como ambos resultados (24 y 56) son ≥ 5, concluimos que sí es pertinente realizar la aproximación a la distribución normal.
Si en un caso análogo se obtiene una media μ = 60 con n = 200 ensayos, el razonamiento inverso comienza identificando que la fórmula directa es μ = n · p.
Para hallar 'p', el primer paso lógico es plantear el despeje dividiendo la media conocida por el número de ensayos: p = 60 / 200. Detente en este planteamiento algebraico sin realizar la división final.
Ejemplo análogo: En una muestra de $n=100$ con $p=0,5$, hallar $P(X > 60)$.
- 1. Parámetros: Calculamos $μ = 100 · 0,5 = 50$ y $σ = √(100 · 0,5 · 0,5) = 5$. Ignoramos cualquier dato sobre la población total.
- 2. Estandarización: Aplicamos $Z = (60 - 50) / 5 = 2,0$.
- 3. Probabilidad: Como pide "más de", usamos el complemento: $P(Z > 2,0) = 1 - P(Z < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228$.
Explicación
Debes aplicar las fórmulas simbólicas de la aproximación normal a la binomial para calcular la media ($\mu = n \cdot p$) y la desviación estándar ($\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$). Identifica correctamente los valores de $n$ y $p$ en el enunciado y sustitúyelos con precisión en cada expresión algebraica.
Debes aplicar el criterio simbólico de suficiencia muestral para validar si una distribución binomial puede aproximarse a una normal. Esto requiere verificar algebraicamente que tanto el producto n·p como n·(1-p) sean mayores o iguales a 5, utilizando los parámetros numéricos del contexto.
Debes aplicar razonamiento inverso utilizando notación simbólica para recuperar el parámetro 'p' a partir de la media μ y el tamaño muestral n. En lugar de calcular la media multiplicando n por p, debes despejar p invirtiendo la operación conocida.
Debes aplicar la aproximación normal a la distribución binomial utilizando notación simbólica. El desafío consiste en identificar los parámetros relevantes ($n$ y $p$) para calcular $μ$ y $σ$, estandarizar el valor dado mediante $Z$ e interpretar correctamente la probabilidad acumulada o complementaria según la condición, descartando datos distractores como el tamaño total de la población.