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Rectas Tangentes a una Circunferencia
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Rectas Tangentes a una Circunferencia

Cálculo de la pendiente de una recta tangente aplicando perpendicularidad con el radio.

Ejemplo

Paso 1: Identificamos la pendiente del radio dada como m = 3/4.
Paso 2: Aplicamos la regla de perpendicularidad: invertimos la fracción obteniendo 4/3 y cambiamos el signo.
Paso 3: La pendiente de la recta tangente es -4/3.

Si una chispa sale desde el punto P(2, 4), primero calculamos la pendiente del radio: m = 4/2 = 2.
Luego, aplicamos la condición de perpendicularidad invirtiendo la fracción y cambiando el signo: m_t = -1/2.
Por lo tanto, la pendiente de la trayectoria tangente de la chispa es -1/2.

Si se indica que la pendiente de la recta tangente es m = -2/5, aplicamos la condición de perpendicularidad de forma inversa. El primer paso lógico es identificar que la pendiente del radio será el recíproco opuesto de dicho valor; por lo tanto, debemos invertir la fracción y cambiar su signo para plantear la expresión algebraica correspondiente, deteniéndonos en esta transformación sin calcular el resultado final.

Explicación

Debes aplicar la condición de perpendicularidad entre rectas usando la representación pictórica del gráfico y los datos simbólicos. Recuerda que la pendiente de la tangente es el recíproco negativo de la pendiente del radio en el punto de tangencia.

Debes aplicar la propiedad geométrica que establece que la recta tangente a una circunferencia es siempre perpendicular al radio en el punto de contacto. Observa el gráfico pictórico del esmeril para identificar visualmente esta relación y utiliza las coordenadas simbólicas dadas para calcular la pendiente negativa recíproca.

En este ejercicio simbólico debes aplicar el razonamiento inverso: dado que la tangente y el radio son perpendiculares, sus pendientes son recíprocas opuestas. Debes revertir la relación conocida para hallar la pendiente del radio a partir de la pendiente de la tangente proporcionada.

1)

Observa la circunferencia centrada en el origen y el punto P(-5, 2) sobre ella. La pendiente del radio que llega a P es m_r = -2/5. Sabiendo que la recta tangente es perpendicular al radio, ¿cuál es la pendiente de la recta tangente?

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2)

Observa la circunferencia centrada en el origen y el punto P(4, -7) sobre ella. La pendiente del radio que llega a P es m_r = -7/4. Sabiendo que la recta tangente es perpendicular al radio, ¿cuál es la pendiente de la recta tangente?

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3)

En una circunferencia centrada en el origen, se traza una recta tangente cuya pendiente es m_t = -4/2. Sabiendo que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de contacto, ¿cuál es la pendiente del radio (m_r)?

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4)

Observa la circunferencia centrada en el origen y el punto P(-3, -3) sobre ella. La pendiente del radio que llega a P es m_r = 3/3. Sabiendo que la recta tangente es perpendicular al radio, ¿cuál es la pendiente de la recta tangente?

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5)

P(4,10)

En un ventilador industrial, se observa un objeto circular centrado en el origen. Un elemento (partícula de polvo) se desprende tangencialmente desde P(4, 10). Si la pendiente del radio es m_r = \frac{5}{2}, ¿cuál es la pendiente de la trayectoria tangente?

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6)

P(12,2)

Para un diseño de trompo tradicional, se requiere calcular la dirección de salida de un hilo suelto en P(12, 2). Sabiendo que la pendiente del segmento radial es \frac{1}{6}, ¿qué valor tiene la pendiente tangencial?

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7)

P(2,10)

Para un diseño de satélite artificial, se requiere calcular la dirección de salida de un señal radial en P(2, 10). Sabiendo que la pendiente del segmento radial es 5, ¿qué valor tiene la pendiente tangencial?

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8)

P(3,9)

Para un diseño de ruleta de casino, se requiere calcular la dirección de salida de un ficha deslizante en P(3, 9). Sabiendo que la pendiente del segmento radial es 3, ¿qué valor tiene la pendiente tangencial?

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9)

Observa la circunferencia centrada en el origen y el punto P(-8, 1) sobre ella. La pendiente del radio que llega a P es m_r = -1/8. Sabiendo que la recta tangente es perpendicular al radio, ¿cuál es la pendiente de la recta tangente?

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10)

Observa la circunferencia centrada en el origen y el punto P(-2, 6) sobre ella. La pendiente del radio que llega a P es m_r = -6/2. Sabiendo que la recta tangente es perpendicular al radio, ¿cuál es la pendiente de la recta tangente?

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