Modelar cambios con funciones lineales y cuadráticas

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1️⃣ Modo uno a uno

Identifica funciones, modela situaciones de cambio lineal y cuadrático, interpreta parámetros, analiza biyectividad y dominio/recorrido contextual.

Ejemplo

Función lineal: d(t) = 50t representa un MRU; la pendiente es la velocidad constante.

Función cuadrática: h(t) = 5t² representa un MRUA; la tasa de cambio aumenta.

Biyectividad: Una función lineal con pendiente no nula es biyectiva en ℝ; una cuadrática no lo es sin restricción de dominio.

Explicación

Un modelo de cambio describe cómo una variable depende de otra. Si el cambio es constante, el modelo es lineal; si la tasa de cambio varía uniformemente, es cuadrático.

Para que una función tenga inversa, debe ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

La tabla muestra la altura de un cohete en despegue. ¿Qué función modela la altura h en función del tiempo t?

Tiempo (s)	Altura (m)
0	0
2	12
4	48
6	108
8	192

Selecciona una opción:

A ) h(t) = 3t + 6

B ) h(t) = 3t² + 3

C ) h(t) = 3t

D ) h(t) = 3t²

Dos móviles: A sigue d(t) = 5t (lineal), B sigue d(t) = 2t² (cuadrática). ¿Qué afirmación es correcta?

Selecciona una opción:

A ) Ambos móviles tienen la misma distancia a los 10 segundos.

B ) El móvil B aumenta su velocidad con el tiempo, mientras que A la mantiene constante.

C ) Ambos móviles tienen velocidad constante.

D ) El móvil A aumenta su velocidad con el tiempo.

¿Cuál descripción corresponde a la gráfica de f(x) = 2x + 2?

Selecciona una opción:

A ) Una línea recta vertical.

B ) Una parábola que abre hacia arriba.

C ) Una línea recta horizontal.

D ) Una línea recta creciente que cruza el eje y en 2.

La tabla muestra la distancia de un tren con velocidad constante. ¿Qué función modela la distancia d en función del tiempo t?

Tiempo (s)	Distancia (m)
0	0
5	500
10	1000
15	1500
20	2000

Selecciona una opción:

A ) d(t) = 100t + 10

B ) d(t) = 100t

C ) d(t) = 100t²

D ) d(t) = 100t² + 100

Un tren se mueve a 25 m/s durante 40 s. ¿Cuál es el dominio apropiado para d(t) = 25t según el contexto?

Selecciona una opción:

A ) [0, 40] segundos

B ) [0, 1000] metros

C ) [40, ∞)

D ) [0, ∞)

¿Es f(x) = 2x² biyectiva en ℝ?

Selecciona una opción:

A ) No, porque no es continua.

B ) Sí, porque es una función cuadrática.

C ) Sí, porque pasa la prueba de la recta vertical.

D ) No, porque no es inyectiva ni sobreyectiva en ℝ.

¿Cuál de las siguientes gráficas no representa una función?

Selecciona una opción:

A ) Una parábola que abre hacia arriba.

B ) Una curva suave sin autointersecciones.

C ) Una línea recta no vertical.

D ) Un círculo.

Un automóvil viaja a velocidad constante de 40 km/h. La función que modela es f(t) = 40t. ¿Qué representa el número 40?

Selecciona una opción:

A ) La razón de cambio constante (pendiente).

B ) El tiempo que tarda en detenerse.

C ) La distancia máxima alcanzada.

D ) El valor inicial de la distancia.

Selecciona la descripción que mejor se ajusta a la gráfica de f(x) = 3x²:

Selecciona una opción:

A ) Una curva que decrece y luego crece, pero no es simétrica.

B ) Una línea recta con pendiente positiva.

C ) Una parábola que abre hacia la derecha.

D ) Una parábola que abre hacia arriba, con vértice en (0,0) y más cerrada mientras mayor es 3.

10)

¿Es f(x) = -3x + -4 biyectiva en ℝ?

Selecciona una opción:

A ) No, porque no es sobreyectiva.

B ) Sí, porque es inyectiva y sobreyectiva en ℝ.

C ) Sí, porque es una función polinómica.

D ) No, porque es lineal.