Función inversa: reversibilidad y representaciones

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Calcula inversas de funciones lineales, cuadráticas (restringidas) y exponenciales. Interpreta la simetría respecto a y = x, verifica algebraicamente, determina dominio/recorrido y aplica el modelo del carbono 14.

Ejemplo

Inversa lineal: f(x)=2x+3 → f^-1(x)=(x-3)/2.

Simetría: (a,b) en f ⇔ (b,a) en f^-1.

Carbono 14: f(t)=e^-0,00012t → t = ln(proporción)/(-0,00012).

Explicación

La función inversa deshace lo que hizo la original. Para que exista, la función debe ser biyectiva. Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto a la recta y = x.

En el contexto del carbono 14, se usa la inversa de la exponencial para hallar el tiempo transcurrido dada una proporción de isótopo restante.

Sea f(x) = 2x² con dominio x ≥ 0. ¿Cuál es su inversa?

Selecciona una opción:

f^-1(x) = x²/2
f^-1(x) = √(x/2)
f^-1(x) = 2/√x
f^-1(x) = √(x)/2

Si f(x) = 2x + 4 tiene dominio [-3, 3], ¿cuál es dominio y recorrido de f^-1?

Selecciona una opción:

Dominio: [0, ∞), Recorrido: [0, ∞)
Dominio: [-3, 3], Recorrido: [-2, 10]
Dominio: [-2, 10], Recorrido: [-3, 3]
Dominio: [-3, 3], Recorrido: [-3, 3]

¿Son f(x) = 2x + 1 y g(x) = (x - 1)/2 funciones inversas?

Selecciona una opción:

Sí, porque sus gráficas son simétricas.
Sí, porque f(f^-1(x)) = x y f^-1(f(x)) = x.
No, porque una es lineal y la otra no.
No, porque tienen distinto dominio.

En el modelo del carbono 14, f(t) = e^-0,00012t representa la proporción restante tras t años. ¿Cómo calculas la antigüedad de un fósil con 23% de C14?

Selecciona una opción:

No se puede determinar porque el modelo no es lineal.
Aplicar la función inversa: t = ln(0,23) / (-0,00012).
Aplicar directamente f(t) = e^-0,00012t con t=0,23.
Multiplicar 5 730 años por 0,23.

¿Qué condición debe cumplir una función para tener inversa?

Selecciona una opción:

Debe ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).
Debe ser positiva.
Debe ser derivable.
Debe ser continua.

Determina la inversa de f(x) = 2x + -4.

Selecciona una opción:

f^-1(x) = 2x - -4
f^-1(x) = (x + -4)/2
f^-1(x) = 2x + -4
f^-1(x) = (x - -4)/2

Para que f(x) = x² tenga inversa, ¿qué se debe hacer?

Selecciona una opción:

No se necesita restricción.
Restringir el recorrido a valores positivos.
Restringir el dominio a x ≥ 0 (o x ≤ 0).
Restringir el dominio a números enteros.

La inversa de f(x) = 5^x es:

Selecciona una opción:

f^-1(x) = log_x 5
f^-1(x) = x⁵
f^-1(x) = 5^-x
f^-1(x) = log₅ x

¿Qué relación geométrica hay entre la gráfica de f y la de f^-1?

Selecciona una opción:

Son simétricas respecto a la recta y = x.
No tienen relación geométrica.
Son simétricas respecto al origen.
Son simétricas respecto al eje y.

10)

Si (5, 6) está en la gráfica de f, ¿qué punto está en la gráfica de f^-1?

Selecciona una opción:

(5, -6)
(-5, 6)
(6, 5)
(5, 6)