Función inversa: reversibilidad y representaciones

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1️⃣ Modo uno a uno

Calcula inversas de funciones lineales, cuadráticas (restringidas) y exponenciales. Interpreta la simetría respecto a y = x, verifica algebraicamente, determina dominio/recorrido y aplica el modelo del carbono 14.

Ejemplo

Inversa lineal: f(x)=2x+3 → f^-1(x)=(x-3)/2.

Simetría: (a,b) en f ⇔ (b,a) en f^-1.

Carbono 14: f(t)=e^-0,00012t → t = ln(proporción)/(-0,00012).

Explicación

La función inversa deshace lo que hizo la original. Para que exista, la función debe ser biyectiva. Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto a la recta y = x.

En el contexto del carbono 14, se usa la inversa de la exponencial para hallar el tiempo transcurrido dada una proporción de isótopo restante.

¿Qué relación geométrica hay entre la gráfica de f y la de f^-1?

Selecciona una opción:

A ) Son simétricas respecto al origen.

B ) No tienen relación geométrica.

C ) Son simétricas respecto a la recta y = x.

D ) Son simétricas respecto al eje y.

La inversa de f(x) = 3^x es:

Selecciona una opción:

A ) f^-1(x) = x³

B ) f^-1(x) = 3^-x

C ) f^-1(x) = log_x 3

D ) f^-1(x) = log₃ x

Determina la inversa de f(x) = -3x + -1.

Selecciona una opción:

A ) f^-1(x) = -3x - -1

B ) f^-1(x) = -3x + -1

C ) f^-1(x) = (x + -1)/-3

D ) f^-1(x) = (x - -1)/-3

Sea f(x) = 3x² con dominio x ≥ 0. ¿Cuál es su inversa?

Selecciona una opción:

A ) f^-1(x) = x²/3

B ) f^-1(x) = √(x)/3

C ) f^-1(x) = √(x/3)

D ) f^-1(x) = 3/√x

¿Son f(x) = 4x + 3 y g(x) = (x - 3)/4 funciones inversas?

Selecciona una opción:

A ) Sí, porque f(f^-1(x)) = x y f^-1(f(x)) = x.

B ) No, porque tienen distinto dominio.

C ) Sí, porque sus gráficas son simétricas.

D ) No, porque una es lineal y la otra no.

Si (5, 8) está en la gráfica de f, ¿qué punto está en la gráfica de f^-1?

Selecciona una opción:

A ) (5, 8)

B ) (8, 5)

C ) (5, -8)

D ) (-5, 8)

En el modelo del carbono 14, f(t) = e^-0,00012t representa la proporción restante tras t años. ¿Cómo calculas la antigüedad de un fósil con 23% de C14?

Selecciona una opción:

A ) Aplicar directamente f(t) = e^-0,00012t con t=0,23.

B ) No se puede determinar porque el modelo no es lineal.

C ) Aplicar la función inversa: t = ln(0,23) / (-0,00012).

D ) Multiplicar 5 730 años por 0,23.

Si f(x) = 3x + 2 tiene dominio [-3, 4], ¿cuál es dominio y recorrido de f^-1?

Selecciona una opción:

A ) Dominio: [-3, 4], Recorrido: [-7, 14]

B ) Dominio: [-3, 4], Recorrido: [-3, 4]

C ) Dominio: [-7, 14], Recorrido: [-3, 4]

D ) Dominio: [0, ∞), Recorrido: [0, ∞)

¿Qué condición debe cumplir una función para tener inversa?

Selecciona una opción:

A ) Debe ser derivable.

B ) Debe ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

C ) Debe ser continua.

D ) Debe ser positiva.

10)

Para que f(x) = x² tenga inversa, ¿qué se debe hacer?

Selecciona una opción:

A ) Restringir el recorrido a valores positivos.

B ) No se necesita restricción.

C ) Restringir el dominio a x ≥ 0 (o x ≤ 0).

D ) Restringir el dominio a números enteros.