Límite de sucesiones en contextos geométricos

Iniciar sesión

⏱️ 00:00

Explora patrones infinitos con fracciones de papel, pilas de círculos y balanzas. Identifica términos generales, predice límites y analiza gráficamente el comportamiento de sucesiones convergentes y divergentes.

Ejemplo

Sucesión: 1/2, 1/4, 1/8, … → a_n=1/2ⁿ. Límite: 0.

Pilas: 1, 3, 5, 7, … → a_n=2n-1. No tiene límite finito.

Balanzas: 1/2, 2/3, 3/4, … → a_n=n/(n+1). Límite: 1.

Explicación

Una sucesión es una lista ordenada de números. Su límite es el valor al que se aproximan sus términos cuando n crece infinitamente, sin necesariamente alcanzarlo.

Al graficar los puntos (n, a_n), se puede visualizar la tendencia.

La cantidad de círculos en la pila n está dada por a_n = 2n - 1. Cuando n tiende a infinito, ¿qué ocurre con a_n?

Selecciona una opción:

Tiende a 1.
No tiene un límite finito, crece indefinidamente.
Tiende a 0.
Tiende a un número finito muy grande.

Una sucesión infinita como 1/2, 1/4, 1/8, … continúa eternamente. ¿Qué se puede decir sobre su «último elemento»?

Selecciona una opción:

El último elemento es el número más grande de la sucesión.
El último elemento es el límite.
El último elemento es 0 para cualquier sucesión.
No existe un último elemento, porque la sucesión es infinita.

Se recorta una hoja de papel por la mitad una y otra vez. Las áreas de los trozos forman la sucesión: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … ¿Cuál es el término general a_n de esta sucesión, donde n empieza en 1?

Selecciona una opción:

a_n = 1 / (2n)
a_n = 1 / n
a_n = 1 / 2ⁿ
a_n = 2 / n

La sucesión a_n = n/(n+1) genera los valores 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … ¿A qué valor se aproxima cuando n crece infinitamente?

Selecciona una opción:

Tiende a 1/2.
Alcanza el 1 en algún momento.
Tiende a 0.
Tiende a 1, pero nunca lo alcanza exactamente.

Una transformación asigna a cada número natural n la fracción 1/n. ¿Dónde se ubican todos estos valores en la recta numérica y qué comportamiento tienen al aumentar n?

Selecciona una opción:

En el intervalo [1, ∞), permaneciendo constante.
En el intervalo [0, 1), alcanzando el 0.
En el intervalo (0, 1], acercándose a 0 sin tocarlo.
En el intervalo (1, ∞), creciendo sin límite.

Un patrón de pilas de círculos tiene 1 círculo en la primera pila, 3 en la segunda, 5 en la tercera y 7 en la cuarta. ¿Cuál es la expresión para la cantidad de círculos en la pila n?

Selecciona una opción:

a_n = 2n + 1
a_n = n²
a_n = 2n - 1
a_n = 2n

Si se invierten los platos de la balanza, las razones ahora son: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, … (a_n = (n+1)/n). ¿A qué valor se aproxima esta sucesión cuando n tiende a infinito?

Selecciona una opción:

Tiende a infinito.
Tiende a 2.
Tiende a 1, pero por valores mayores que 1.
Tiende a 0.

En una balanza, la razón entre bolitas del plato izquierdo y del plato derecho sigue el patrón: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … ¿Cuál es el término general a_n (empezando en n=1)?

Selecciona una opción:

a_n = n / (n-1)
a_n = n / (n+1)
a_n = (n+1) / n
a_n = 1 / n

Considera la sucesión: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … A medida que n aumenta, ¿qué ocurre con los valores de la sucesión?

Selecciona una opción:

Tiende a 0 y lo alcanza en el infinito.
Tiende a 0, pero nunca lo alcanza.
Tiende a 1, pero nunca lo alcanza.
Crece indefinidamente.

10)

Al graficar la sucesión a_n = 1/2ⁿ (1/2, 1/4, 1/8, …) como puntos en el plano (n, a_n), ¿qué se observa para valores grandes de n?

Selecciona una opción:

Puntos que forman una línea recta creciente.
Puntos que se alinean en una recta horizontal a altura 1.
Puntos que suben y bajan sin patrón.
Puntos que se amontonan cada vez más cerca del eje x (altura 0) sin tocarlo.