La paradoja de Zenón: Aquiles y la tortuga

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Analiza la paradoja de Aquiles y la tortuga mediante series geométricas. Calcula sumas infinitas, modela con funciones lineales, interpreta gráficos y comprende la noción de límite en un contexto clásico.

Ejemplo

Serie de tiempos: 10 + 1 + 0,1 + … = 100/9 s.

Modelo continuo: X_A=10t, X_T=t+100 → t=100/9.

Resolución: La suma infinita de intervalos es finita, por lo que Aquiles sí alcanza a la tortuga.

Explicación

La paradoja de Zenón se resuelve al comprender que una suma de infinitos términos puede ser finita (serie convergente). El límite de la suma de la serie geométrica es el tiempo exacto en que Aquiles alcanza a la tortuga.

Calcula la suma de los primeros cuatro intervalos de tiempo de la paradoja: 10 s + 1 s + 0,1 s + 0,01 s.

Selecciona una opción:

10,01 s
11,11 s
11,1 s
12,1 s

La suma de todos los infinitos intervalos de tiempo (10 + 1 + 0,1 + 0,01 + …) es una serie geométrica convergente. ¿Cuál es el tiempo total hasta que Aquiles alcanza a la tortuga según este modelo?

Selecciona una opción:

12,5 s
100/9 s ≈ 11,111… s
10 s
Infinito, porque hay infinitos intervalos.

En la paradoja, los intervalos de tiempo que tarda Aquiles en recorrer cada nueva distancia son: 10 s, 1 s, 0,1 s, 0,01 s, … ¿Cuál es el término general t_n de esta sucesión, empezando con n=1?

Selecciona una opción:

t_n = 10ⁿ
t_n = 10 · n
t_n = 10/n
t_n = 10 · (0,1)^n-1

La sucesión de intervalos de tiempo 10, 1, 0,1, 0,01, … forma una serie geométrica. ¿Cuál es la razón (factor multiplicador) entre un término y el siguiente?

Selecciona una opción:

1
10
0,1 (o 1/10)
0,01

En la paradoja de Zenón, Aquiles le da 100 m de ventaja a una tortuga. Cuando Aquiles recorre esos 100 m, la tortuga ha avanzado 10 m; cuando Aquiles recorre esos 10 m, la tortuga avanza 1 m, y así sucesivamente. Según este razonamiento, ¿por qué parece que Aquiles nunca alcanza a la tortuga?

Selecciona una opción:

Porque la distancia entre ellos aumenta con el tiempo.
Porque Zenón supone que el tiempo no puede dividirse indefinidamente.
Porque Aquiles es más lento que la tortuga.
Porque divide el tiempo en infinitos intervalos cada vez más pequeños, cuya suma es finita.

En la paradoja, la distancia entre Aquiles y la tortuga en cada etapa es: 100 m, 10 m, 1 m, 0,1 m, … ¿A qué valor tiende esa distancia cuando n crece?

Selecciona una opción:

Tiende a 0 m.
Permanece constante en 1 m.
Tiende a 10 m.
Tiende a 100 m.

¿Alcanza realmente Aquiles a la tortuga según las matemáticas? ¿Cómo se resuelve la paradoja?

Selecciona una opción:

No, porque la tortuga siempre mantiene la ventaja.
Sí, porque la suma de infinitos intervalos de tiempo puede ser finita.
No, porque los intervalos son infinitos y el tiempo nunca termina.
Sí, porque Aquiles corre más rápido al final.

La serie geométrica 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + … tiene primer término a=10 y razón r=0,1. ¿Cuál es la suma infinita S = a / (1 - r)?

Selecciona una opción:

S = 10 · (1 - 0,1ⁿ)
S = 10 / (1 - 10) = -10/9
S = 10 · 0,1 = 1
S = 10 / (1 - 0,1) = 100/9

Al graficar la posición de Aquiles en los instantes acumulados 10 s, 11 s, 11,1 s, 11,11 s, … (sin unir los puntos), ¿qué se observa?

Selecciona una opción:

Puntos que forman una curva parabólica.
Puntos que se amontonan sin patrón.
Puntos que se alinean en una recta, con pendiente igual a la velocidad de Aquiles.
Puntos que se acercan asintóticamente a una línea horizontal.

10)

Usa el modelo continuo: Aquiles corre a 10 m/s y la tortuga a 1 m/s, con 100 m de ventaja. Sus posiciones son X_A(t) = 10t y X_T(t) = t + 100. ¿En qué instante t alcanza Aquiles a la tortuga?

Selecciona una opción:

10 s
100/9 s ≈ 11,11 s
100/10 = 10 s
No se puede determinar sin saber las velocidades exactas.