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Argumentando con la noción de límites en diferentes contextos
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Argumentando con la noción de límites en diferentes contextos

Profundiza la noción de límite: definición formal con ε, cálculo algebraico de límites, método de Herón para √2, inexistencia de límites oscilantes y límites en el cálculo de áreas.

Ejemplo

Definición ε: Para ε=0,001, los términos de 1/n entran en el intervalo [-ε, ε] para n ≥ 1001.

Límite algebraico: (2n+1)/(3n+5) → 2/3.

Herón: xn+1 = (xn + 2/xn)/2 → límite √2.

Área: Aproximación con rectángulos → límite = x²/2.

Explicación

El límite de una sucesión es el valor al que se aproximan sus términos. Para cada intervalo alrededor del límite, por pequeño que sea, solo quedan fuera una cantidad finita de términos. Esta idea permite calcular áreas, aproximar raíces (Herón) y distinguir sucesiones convergentes de oscilantes.

1)

El método de Herón para aproximar √2 parte de un valor inicial x1 = 2. Se calcula x1' = 2/x1 = 1, y luego x2 = (x1 + x1')/2. ¿Cuánto vale x2?

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2)

Calcula el límite de an = (2n + 1)2 / (3n - 1)2 cuando n → ∞.

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3)

Considera la sucesión cn = (-1)n · (2n+1)/n. ¿Qué ocurre con su límite cuando n → ∞?

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4)

Considera la sucesión an = 1/n. Elige ε = 0.001. ¿A partir de qué valor de n todos los términos an están en el intervalo [0 - ε, 0 + ε]?

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5)

Calcula el límite de la sucesión an = (2n + 1) / (7n + 1) cuando n → ∞.

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6)

¿Cuál de las siguientes sucesiones tiene límite 4/5 cuando n → ∞?

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7)

Se dice que una sucesión an tiene límite L si, para cada número positivo ε (tan pequeño como se quiera), existe un n0 tal que para todo n ≥ n0, |an - L| < ε. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor esta idea?

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8)

El método de Herón genera una sucesión de números que se acercan cada vez más a √2. ¿Cómo describe mejor este proceso la noción de límite?

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9)

Se aproxima el área de un triángulo rectángulo isósceles de catetos x = 4 mediante rectángulos inscritos de ancho x/n. La suma de las áreas de los rectángulos es An = (x2/n2) · [1 + 2 + … + (n-1)]. Usando la fórmula 1+2+…+(n-1) = n(n-1)/2, el límite de An cuando n → ∞ es el área exacta. ¿Cuál es esa área?

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10)

Para un triángulo rectángulo isósceles de catetos x = 2, el área exacta es 2. Al dividir la altura en n = 8 rectángulos de ancho 2/n y sumar sus áreas, se obtiene una aproximación inferior. ¿Cuál es aproximadamente esa suma?

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