Argumentando con la noción de límites en diferentes contextos

1)

Se aproxima el área de un triángulo rectángulo isósceles de catetos x = 8 mediante rectángulos inscritos de ancho x/n. La suma de las áreas de los rectángulos es A_n = (x²/n²) · [1 + 2 + … + (n-1)]. Usando la fórmula 1+2+…+(n-1) = n(n-1)/2, el límite de A_n cuando n → ∞ es el área exacta. ¿Cuál es esa área?

2)

El método de Herón para aproximar √2 parte de un valor inicial x₁ = 2. Se calcula x₁' = 2/x₁ = 1, y luego x₂ = (x₁ + x₁')/2. ¿Cuánto vale x₂?

3)

Para un triángulo rectángulo isósceles de catetos x = 2, el área exacta es 2. Al dividir la altura en n = 5 rectángulos de ancho 2/n y sumar sus áreas, se obtiene una aproximación inferior. ¿Cuál es aproximadamente esa suma?

4)

Calcula el límite de la sucesión a_n = (3n + 7) / (3n + 2) cuando n → ∞.

5)

Considera la sucesión c_n = (-1)ⁿ · (2n+1)/n. ¿Qué ocurre con su límite cuando n → ∞?

6)

Se dice que una sucesión a_n tiene límite L si, para cada número positivo ε (tan pequeño como se quiera), existe un n₀ tal que para todo n ≥ n₀, |a_n - L| < ε. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor esta idea?

7)

¿Cuál de las siguientes sucesiones tiene límite 4/3 cuando n → ∞?

8)

Calcula el límite de a_n = (2n + 1)² / (3n - 1)² cuando n → ∞.

9)

El método de Herón genera una sucesión de números que se acercan cada vez más a √2. ¿Cómo describe mejor este proceso la noción de límite?

10)

Considera la sucesión a_n = 1/n. Elige ε = 0.001. ¿A partir de qué valor de n todos los términos a_n están en el intervalo [0 - ε, 0 + ε]?