Argumentando la existencia de límites de funciones reales

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Explora límites de funciones lineales, cuadráticas y racionales cuando x tiende a un punto o al infinito. Interpreta tablas, gráficos y límites laterales para decidir sobre convergencia, divergencia y la existencia del límite.

Ejemplo

Límite finito: lim_x→2 x² = 4.

Límite en infinito: lim_x→∞ (1 + 1/x) = 1.

Límite no existe: lim_x→0 1/x diverge (límites laterales distintos).

Explicación

El límite de una función cuando x tiende a un valor a es el número al que se aproximan las imágenes f(x) siempre que por ambos lados se acerquen al mismo valor. Si los límites laterales difieren, el límite no existe. Cuando x crece indefinidamente, el límite describe el comportamiento asintótico (horizontal).

Para f(x) = 1/x, estudia los límites laterales cuando x → 0. ¿Existe lim_x→0 f(x)?

Selecciona una opción:

El límite es 0.
No existe un límite finito, porque f(x) tiende a +∞ por la derecha y a −∞ por la izquierda.
El límite es +∞.
El límite es 1.

Sea f(x) = 1/x². Calcula el límite cuando x → -2. Recuerda que si x se acerca a -2 tanto por la izquierda como por la derecha, los valores f(x) se aproximan al mismo número.

Selecciona una opción:

-0.5
0.35
0.25
0

Considera f(x) = 1 + 1/x. A medida que x se hace muy grande (x → ∞), ¿qué ocurre con f(x)?

Selecciona una opción:

Tiende a 0.
No existe.
Tiende a 1.
Tiende a infinito.

Observa la tabla de valores de una función f cerca de x = 1:
x = 0,9 → f(x) = 1.8
x = 0,99 → f(x) = 1.98
x = 0,999 → f(x) = 2.0
x = 1,001 → f(x) = 2.0
x = 1,01 → f(x) = 2.02
x = 1,1 → f(x) = 2.2
¿Cuál parece ser el límite de f(x) cuando x → 1?

Selecciona una opción:

0
2
2.1
2

Para f(x) = 1/x², cuando x → 0 tanto por la izquierda como por la derecha, los valores de f(x) se hacen cada vez más grandes. ¿Qué se puede afirmar sobre lim_x→0 1/x²?

Selecciona una opción:

El límite es 1.
No existe un límite finito; la función crece sin cota (diverge a +∞).
El límite es -∞.
El límite es 0.

Sea f(x) = 7. ¿Cuál es lim_x→4 f(x)?

Selecciona una opción:

0
No existe
Infinito
7

Para f(x) = x + 3, al hacer x acercarse a 3 por la izquierda se obtienen valores como 5,9; 5,99; 5,999... y por la derecha 6,1; 6,01; 6,001... ¿Existe el límite de f(x) cuando x → 3?

Selecciona una opción:

Sí, porque los límites por la izquierda y por la derecha son iguales a 6.
No, porque los límites laterales son distintos.
No, porque f(3) no está definido.
Sí, porque f(3) = 6.

Para f(x) = x², se observan valores cercanos a 3:
f(2.9) = 8.41, f(2.99) = 8.94, f(3.01) = 9.06, f(3.1) = 9.61.
¿A qué valor se aproxima f(x) cuando x → 3?

Selecciona una opción:

8
6
12
9

La gráfica de f(x) = 1 + 1/x se aproxima infinitamente a una recta vertical cuando x se acerca a 0. ¿Cuál es esa recta?

Selecciona una opción:

La recta x = 0 (eje Y).
La recta y = 1.
No tiene asíntota vertical.
La recta y = 0.

10)

Considera la función f(x) = 2x + 3. Completa la tabla de valores cercanos a x = 5 y determina el límite cuando x tiende a 5.
f(4) = 11, f(4.9) ≈ 12.8, f(5.1) ≈ 13.2, f(6) = 15.
¿Cuál es el valor de lim_x→5 f(x)?

Selecciona una opción:

14
13
12
11