Describiendo el cambio por medio de la derivada

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Comprende la razón instantánea de cambio como límite de razones medias, interpreta la pendiente de la tangente, analiza gráficos de rapidez de cambio y aplica en contextos geométricos y experimentales (Galileo, llenado de cilindros).

Ejemplo

Razón instantánea: lim_a→2 (a²-4)/(2a-4) = 2.

Galileo: d(t)=5t² → velocidad instantánea v(t)=10t.

Tangente: La derivada es la pendiente de la recta tangente.

Explicación

La derivada de una función en un punto es el límite del cociente de diferencias (razón media de cambio) cuando el intervalo se hace infinitesimal. Representa la rapidez instantánea de cambio y geométricamente la pendiente de la tangente.

El gráfico de una función M(t) sube de manera continua entre t=0 y t=2, alcanza un máximo en t=2 y luego desciende hasta t=5. ¿Qué se puede decir sobre el signo de la razón instantánea de cambio (derivada) en esos intervalos?

Selecciona una opción:

La derivada es siempre positiva.
La derivada es cero en todo el intervalo.
La derivada es positiva en (0, 2) y negativa en (2, 5).
La derivada es negativa en (0, 2) y positiva en (2, 5).

Galileo encontró que el desplazamiento de una bola que cae por un plano inclinado es d(t) = 5t² (unidades arbitrarias). La velocidad instantánea en t = 2 es el límite de la velocidad media cuando el intervalo se reduce. ¿Cuál es esa velocidad instantánea?

Selecciona una opción:

20
20
10
10

En un experimento, la distancia recorrida por una bola es d(t) = 4t² (metros). Se calculan velocidades medias en intervalos que terminan en t=4 s:
[3,9; 4] → 15,6 m/s; [3,99; 4] → 15,96 m/s; [3,999; 4] → 15,996 m/s;
[4; 4,001] → 16,004 m/s; [4; 4,01] → 16,04 m/s; [4; 4,1] → 16,4 m/s.
¿A qué valor se aproxima la velocidad instantánea en t=4?

Selecciona una opción:

0 m/s
16 m/s
16,5 m/s
15,5 m/s

Calcula el límite lim_a→2 (a² − 4) / (2a − 4).

Selecciona una opción:

4
0
1
2

¿En qué situación no existe la razón instantánea de cambio (derivada) de una función en un punto?

Selecciona una opción:

Donde la función alcanza un máximo o mínimo suave.
Donde la función es lineal.
En un punto donde la gráfica tiene un pico (cambio brusco de dirección).
Donde la función es constante.

Al intentar evaluar la expresión (x² - 9)/(x - 3) directamente en x=3 se obtiene 0/0. Simplificando algebraicamente, ¿cuál es el límite cuando x→3?

Selecciona una opción:

indefinido
3
0
6

Un triángulo rectángulo isósceles tiene área A(a) = a²/2, donde a es la longitud de los catetos. La razón instantánea de cambio del área respecto al lado en a₀ = 2 se obtiene mediante:
lim_a→2 (A(a) − A(2)) / (a − 2).
¿Cuál es ese límite?

Selecciona una opción:

4
0
2
1

Para una función f(x), la derivada f'(a) se interpreta geométricamente como:

Selecciona una opción:

La pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
La pendiente de la recta secante entre dos puntos cualesquiera.
El valor de la función en ese punto.
El área bajo la curva hasta ese punto.

¿Qué relación existe entre la velocidad promedio en un intervalo [t, t+Δt] y la velocidad instantánea en t?

Selecciona una opción:

La velocidad instantánea no se relaciona con la velocidad promedio.
La velocidad instantánea es la velocidad promedio en un intervalo de 1 segundo.
La velocidad promedio es siempre mayor que la instantánea.
La velocidad instantánea es el límite de las velocidades promedio cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

10)

Un sistema de dos cilindros conectados verticalmente, el inferior con el doble de diámetro que el superior, se llena con un caudal constante. Cuando el agua alcanza la base del cilindro superior, ¿qué ocurre con la rapidez instantánea de subida de la altura?

Selecciona una opción:

La razón instantánea se vuelve cero.
La razón instantánea disminuye.
La razón instantánea se mantiene igual.
La razón instantánea aumenta bruscamente (la pendiente de la gráfica de h(t) se hace mayor).