Describiendo el cambio por medio de la derivada

1)

El gráfico de una función M(t) sube de manera continua entre t=0 y t=2, alcanza un máximo en t=2 y luego desciende hasta t=5. ¿Qué se puede decir sobre el signo de la razón instantánea de cambio (derivada) en esos intervalos?

2)

¿En qué situación no existe la razón instantánea de cambio (derivada) de una función en un punto?

3)

Un sistema de dos cilindros conectados verticalmente, el inferior con el doble de diámetro que el superior, se llena con un caudal constante. Cuando el agua alcanza la base del cilindro superior, ¿qué ocurre con la rapidez instantánea de subida de la altura?

4)

Calcula el límite lim_a→2 (a² − 4) / (2a − 4).

5)

En un experimento, la distancia recorrida por una bola es d(t) = 4t² (metros). Se calculan velocidades medias en intervalos que terminan en t=4 s:
[3,9; 4] → 15,6 m/s; [3,99; 4] → 15,96 m/s; [3,999; 4] → 15,996 m/s;
[4; 4,001] → 16,004 m/s; [4; 4,01] → 16,04 m/s; [4; 4,1] → 16,4 m/s.
¿A qué valor se aproxima la velocidad instantánea en t=4?

6)

Galileo encontró que el desplazamiento de una bola que cae por un plano inclinado es d(t) = 3t² (unidades arbitrarias). La velocidad instantánea en t = 2 es el límite de la velocidad media cuando el intervalo se reduce. ¿Cuál es esa velocidad instantánea?

7)

Al intentar evaluar la expresión (x² - 9)/(x - 3) directamente en x=3 se obtiene 0/0. Simplificando algebraicamente, ¿cuál es el límite cuando x→3?

8)

Para una función f(x), la derivada f'(a) se interpreta geométricamente como:

9)

¿Qué relación existe entre la velocidad promedio en un intervalo [t, t+Δt] y la velocidad instantánea en t?

10)

Un triángulo rectángulo isósceles tiene área A(a) = a²/2, donde a es la longitud de los catetos. La razón instantánea de cambio del área respecto al lado en a₀ = 2 se obtiene mediante:
lim_a→2 (A(a) − A(2)) / (a − 2).
¿Cuál es ese límite?