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La derivada como pendiente de la recta tangente
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La derivada como pendiente de la recta tangente

Calcula derivadas usando el límite del cociente incremental, interpreta la pendiente de la tangente, resuelve problemas de tangencia y aplica el concepto en contextos geométricos y científicos (cráter, explorador).

Ejemplo

Derivada de x² en 1: limh→0 ((1+h)²−1)/h = 2.

Recta tangente desde origen: y = 2√2 · x es tangente a y = x²+2.

Vehículo explorador: derivada = 1 → x=200 → altura 100 m.

Explicación

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto. Se calcula como el límite de las pendientes de las rectas secantes cuando el punto se aproxima infinitamente. Este valor indica la rapidez instantánea de cambio y la dirección de la curva (creciente, decreciente o extremo).

1)

En la cima de una colina (máximo local) la recta tangente es horizontal. ¿Qué valor tiene la derivada en ese punto?

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2)

El gráfico de una función g muestra que en x = −1 la curva está bajando (es decreciente). ¿Qué signo tendrá la derivada g'(−1)?

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3)

La derivada de f(x) = x2 en x0 = 1 se define como
limh→0 ((1+h)2 − 12) / h.
Calcula ese límite.

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4)

Usa la definición de derivada para calcular f'(2) si f(x) = x3.
Recuerda: f'(2) = limh→0 ((2+h)3 − 8) / h.

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5)

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente. Para la función lineal f(x) = -4x + 5, ¿cuál es su derivada en cualquier punto?

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6)

Calcula la derivada de f(x) = 1/x en x0 = 2 utilizando el límite
limh→0 (1/(2+h) − 1/2) / h.

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7)

El perfil de un cráter se modela con f(x) = (1/400) · x2 (metros). Un vehículo puede subir pendientes de hasta 100% (es decir, pendiente 1). La derivada f'(x) = (1/200) · x indica la pendiente de la tangente. Iguala f'(x) = 1 y determina hasta qué altura puede subir el vehículo.

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8)

Para f(x) = x2, la pendiente de la recta secante entre los puntos (1, 1) y (1,5; 2,25) es Δy/Δx = (2,25 − 1)/(1,5 − 1). ¿Cuál es ese valor?

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9)

Se desea trazar una recta que pase por el origen (0,0) y sea tangente a la parábola f(x) = x2 + 2. La recta tiene ecuación y = t · x. Para que sea tangente, el discriminante de la ecuación x2 + 2 = t · x debe ser cero. ¿Cuál es el valor positivo de t?

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10)

Determina la derivada de f(x) = √x en x0 = 4 mediante el límite del cociente incremental.

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