La derivada como pendiente de la recta tangente

1)

La derivada de f(x) = x² en x₀ = 1 se define como
lim_h→0 ((1+h)² − 1²) / h.
Calcula ese límite.

2)

Determina la derivada de f(x) = √x en x₀ = 4 mediante el límite del cociente incremental.

3)

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente. Para la función lineal f(x) = -4x + -3, ¿cuál es su derivada en cualquier punto?

4)

El gráfico de una función g muestra que en x = −1 la curva está bajando (es decreciente). ¿Qué signo tendrá la derivada g'(−1)?

5)

Usa la definición de derivada para calcular f'(2) si f(x) = x³.
Recuerda: f'(2) = lim_h→0 ((2+h)³ − 8) / h.

6)

Calcula la derivada de f(x) = 1/x en x₀ = 2 utilizando el límite
lim_h→0 (1/(2+h) − 1/2) / h.

7)

Se desea trazar una recta que pase por el origen (0,0) y sea tangente a la parábola f(x) = x² + 2. La recta tiene ecuación y = t · x. Para que sea tangente, el discriminante de la ecuación x² + 2 = t · x debe ser cero. ¿Cuál es el valor positivo de t?

8)

El perfil de un cráter se modela con f(x) = (1/400) · x² (metros). Un vehículo puede subir pendientes de hasta 100% (es decir, pendiente 1). La derivada f'(x) = (1/200) · x indica la pendiente de la tangente. Iguala f'(x) = 1 y determina hasta qué altura puede subir el vehículo.

9)

Para f(x) = x², la pendiente de la recta secante entre los puntos (1, 1) y (1,5; 2,25) es Δy/Δx = (2,25 − 1)/(1,5 − 1). ¿Cuál es ese valor?

10)

En la cima de una colina (máximo local) la recta tangente es horizontal. ¿Qué valor tiene la derivada en ese punto?