Aplicando la derivada: máximos, mínimos y optimización

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Aplica el cálculo de derivadas para interpretar rapidez instantánea, optimizar ganancias, modelar fotosíntesis, minimizar costos de construcción y analizar la ley de Turgot en contextos reales.

Ejemplo

Rapidez instantánea: p'(4) = 2,4 km/h.

Máxima ganancia: G(x) = -0,2x³+4x²-12x-6 → máximo en x≈11,6 t.

Fotosíntesis: f(t)=at³+bt² con f(6)=540 e inflexión en 6 → a=-1,25, b=22,5.

Explicación

La derivada permite encontrar máximos y mínimos resolviendo f'(x)=0 y analizando el signo de f''(x). En contextos aplicados, optimizar significa maximizar ganancias, minimizar costos o ajustar parámetros para cumplir condiciones dadas.

Si los ingresos por tonelada bajan a 3 millones de pesos, la ganancia es G(x) = 3x - (0,2x³ - 4x² + 22x + 6). Al analizar su gráfica, ¿qué se observa sobre las ganancias?

Selecciona una opción:

Nunca hay ganancias porque los ingresos son menores que antes.
Siempre hay ganancias si se produce más de 10 toneladas.
Hay ganancias para cualquier cantidad producida.
Solo para un intervalo limitado de x; fuera de él hay pérdidas.

Para conectar una casa a un servicio de agua, se modela el costo de construcción como
C(x) = 3(500 - x) + 6√(x² + 300²) UF, donde x es la distancia desde Q hasta el punto de bifurcación S.
¿Cuál es la derivada C'(x)?

Selecciona una opción:

C'(x) = 3 + 6x / √(x² + 300²)
C'(x) = -3 + 6x / √(x² + 300²)
C'(x) = -3 + 3x / √(x² + 300²)
C'(x) = -3 + 6 / √(x² + 300²)

La rapidez instantánea del vehículo es la derivada p'(t) = -0,9t² + 4,2t. ¿Cuál es la rapidez instantánea a las 4 horas?

Selecciona una opción:

1,2 km/h
0 km/h
2,4 km/h
4,8 km/h

En la función de costos C(x) = 0,2x³ - 4x² + 22x + 6, ¿cuáles son los costos fijos (independientes de la producción)?

Selecciona una opción:

6 millones de pesos (término constante).
22 millones de pesos.
10 millones de pesos.
No hay costos fijos.

En el contexto del vehículo de monitoreo, ¿cómo se interpreta el signo de la derivada p'(t)?

Selecciona una opción:

Cuando p'(t) > 0 el vehículo se acerca; cuando p'(t) < 0 se aleja.
El signo de la derivada no tiene interpretación física.
Cuando p'(t) > 0 el vehículo se aleja; cuando p'(t) < 0 se acerca.
Un valor negativo de la derivada indica que el vehículo está detenido.

Un vehículo de monitoreo se aleja de su central según la función
p(t) = -0,3t³ + 2,1t² (km), con t en horas.
Calcula la rapidez media entre t = 3 h y t = 5 h.
(p(3) = 10,8 km; p(5) = 15,0 km)

Selecciona una opción:

1,05 km/h
15,0 km/h
2,1 km/h
4,2 km/h

Si en un punto la primera derivada de una función se anula y cambia de signo, ¿qué tipo de punto es?

Selecciona una opción:

Siempre un punto de inflexión.
Un punto máximo o mínimo local, dependiendo del signo de la segunda derivada.
Una discontinuidad.
Un punto donde la función no está definida.

La ley de Turgot describe el comportamiento del rendimiento de una producción al aumentar un insumo manteniendo los demás constantes. ¿Qué patrón sigue?

Selecciona una opción:

El rendimiento siempre aumenta con la producción.
El rendimiento es constante independientemente de la producción.
El rendimiento sube, luego baja y finalmente se vuelve negativo.
El rendimiento baja, luego sube y finalmente se estabiliza.

Una empresa minera tiene costos C(x) = 0,2x³ - 4x² + 22x + 6 e ingresos I(x) = 10x (en millones de pesos, x toneladas diarias). La ganancia es G(x) = I(x) - C(x) = -0,2x³ + 4x² - 12x - 6. ¿En qué valor de x se obtiene la máxima ganancia?

Selecciona una opción:

Aproximadamente 11,6 toneladas (máximo local).
Aproximadamente 5,9 toneladas.
Aproximadamente 1,7 toneladas (mínimo local).
No hay máximo, la función crece indefinidamente.

10)

La producción de oxígeno de un árbol se modela con f(t) = at³ + bt² (litros acumulados tras t horas de sol).
A las 6 horas hay 540 litros acumulados y en ese instante ocurre un punto de inflexión (f''(6)=0). ¿Cuáles son los valores de a y b?

Selecciona una opción:

a = -1,25 y b = 22,5
a = 1,25 y b = -22,5
a = 2,5 y b = 15
a = -2,5 y b = 45