Aplicando la derivada: máximos, mínimos y optimización

1)

Para conectar una casa a un servicio de agua, se modela el costo de construcción como
C(x) = 3(500 - x) + 6√(x² + 300²) UF, donde x es la distancia desde Q hasta el punto de bifurcación S.
¿Cuál es la derivada C'(x)?

2)

La ley de Turgot describe el comportamiento del rendimiento de una producción al aumentar un insumo manteniendo los demás constantes. ¿Qué patrón sigue?

3)

La rapidez instantánea del vehículo es la derivada p'(t) = -0,9t² + 4,2t. ¿Cuál es la rapidez instantánea a las 4 horas?

4)

Una empresa minera tiene costos C(x) = 0,2x³ - 4x² + 22x + 6 e ingresos I(x) = 10x (en millones de pesos, x toneladas diarias). La ganancia es G(x) = I(x) - C(x) = -0,2x³ + 4x² - 12x - 6. ¿En qué valor de x se obtiene la máxima ganancia?

5)

En el contexto del vehículo de monitoreo, ¿cómo se interpreta el signo de la derivada p'(t)?

6)

Si los ingresos por tonelada bajan a 3 millones de pesos, la ganancia es G(x) = 3x - (0,2x³ - 4x² + 22x + 6). Al analizar su gráfica, ¿qué se observa sobre las ganancias?

7)

En la función de costos C(x) = 0,2x³ - 4x² + 22x + 6, ¿cuáles son los costos fijos (independientes de la producción)?

8)

Si en un punto la primera derivada de una función se anula y cambia de signo, ¿qué tipo de punto es?

9)

La producción de oxígeno de un árbol se modela con f(t) = at³ + bt² (litros acumulados tras t horas de sol).
A las 6 horas hay 540 litros acumulados y en ese instante ocurre un punto de inflexión (f''(6)=0). ¿Cuáles son los valores de a y b?

10)

Un vehículo de monitoreo se aleja de su central según la función
p(t) = -0,3t³ + 2,1t² (km), con t en horas.
Calcula la rapidez media entre t = 3 h y t = 5 h.
(p(3) = 10,8 km; p(5) = 15,0 km)