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La integral definida como área bajo la curva
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La integral definida como área bajo la curva

Descubre la integral definida a partir del límite de sumas de rectángulos, relaciona antiderivadas con funciones potencia, interpreta el área bajo la razón instantánea como cambio acumulado y aplica el teorema fundamental.

Ejemplo

Antiderivada de x²: x³/3.

Área bajo x en [0,1]: 1/2.

Caudal constante: C(t)=2 L/s entre 0 y 5 s → Volumen = 10 L.

Explicación

La integral definida de una función positiva en un intervalo [a,b] es el área bajo su gráfica. Se obtiene como límite de sumas de áreas de rectángulos cada vez más finos. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que si F es una antiderivada de f, entonces el área es F(b) − F(a). Para funciones potencia (xm con m≠-1), la antiderivada es xm+1/(m+1).

1)

El área bajo la curva f(x) = x en el intervalo [0, 1] se puede obtener como el límite de la suma de rectángulos inscritos: limn→∞ (1/n2)·(0+1+2+…+(n-1)). Usando la fórmula de la suma de los primeros n-1 naturales = n(n-1)/2, ¿cuál es el valor exacto del área?

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2)

El área bajo f(x) = x3 en [0, 1] se obtiene como límite de rectángulos circunscritos. Usando la suma de cubos: 13+23+…+n3 = n2(n+1)2/4, el límite de An = (1/n4)·∑k=1n k3 es:

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3)

Al aproximar el área bajo f(x) = x2 en [0, 1] mediante rectángulos inscritos, la suma de áreas es An = (1/n3)·(12+22+…+(n-1)2). Usa la fórmula de suma de cuadrados y calcula el límite cuando n→∞.

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4)

Una antiderivada de f(x) = x2 es una función F(x) tal que F'(x) = f(x). ¿Cuál de las siguientes es una antiderivada de x2?

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5)

En una cámara de agua, el caudal es constante C(t) = 2 litros/segundo. El volumen acumulado desde t=0 hasta t=5 s es el área bajo C(t). ¿Cuál es ese volumen?

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6)

Para las funciones potencia f(x) = x2 se ha observado una regularidad: la antiderivada que pasa por el origen es de la forma F(x) = xk/k. ¿Cuál es la antiderivada de x2?

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7)

En un experimento, el gráfico de la razón instantánea C(t) (caudal) representa los litros por segundo que entran o salen de una cámara. El área bajo la curva C(t) entre t=0 y t=10 segundos, ¿qué representa en el contexto?

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8)

La regularidad «F(x) = xm+1/(m+1)» funciona para f(x)=xm excepto para m = -1. ¿Por qué falla con f(x) = 1/x?

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9)

Si G(x) = x3/3 es una antiderivada de g(x) = x2, el área bajo g entre x=1 y x=2 se calcula como G(2) - G(1). ¿Cuál es ese valor?

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10)

Aplicando la regularidad de las funciones potencia para exponentes fraccionarios, ¿cuál es una antiderivada de f(x) = √x (es decir, x1/2)?

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