La integral definida como área bajo la curva

1)

Aplicando la regularidad de las funciones potencia para exponentes fraccionarios, ¿cuál es una antiderivada de f(x) = √x (es decir, x^1/2)?

2)

En una cámara de agua, el caudal es constante C(t) = 2 litros/segundo. El volumen acumulado desde t=0 hasta t=5 s es el área bajo C(t). ¿Cuál es ese volumen?

3)

Al aproximar el área bajo f(x) = x² en [0, 1] mediante rectángulos inscritos, la suma de áreas es A_n = (1/n³)·(1²+2²+…+(n-1)²). Usa la fórmula de suma de cuadrados y calcula el límite cuando n→∞.

4)

El área bajo f(x) = x³ en [0, 1] se obtiene como límite de rectángulos circunscritos. Usando la suma de cubos: 1³+2³+…+n³ = n²(n+1)²/4, el límite de A_n = (1/n⁴)·∑_k=1ⁿ k³ es:

5)

El área bajo la curva f(x) = x en el intervalo [0, 1] se puede obtener como el límite de la suma de rectángulos inscritos: lim_n→∞ (1/n²)·(0+1+2+…+(n-1)). Usando la fórmula de la suma de los primeros n-1 naturales = n(n-1)/2, ¿cuál es el valor exacto del área?

6)

Una antiderivada de f(x) = x² es una función F(x) tal que F'(x) = f(x). ¿Cuál de las siguientes es una antiderivada de x²?

7)

Para las funciones potencia f(x) = x⁴ se ha observado una regularidad: la antiderivada que pasa por el origen es de la forma F(x) = x^k/k. ¿Cuál es la antiderivada de x⁴?

8)

En un experimento, el gráfico de la razón instantánea C(t) (caudal) representa los litros por segundo que entran o salen de una cámara. El área bajo la curva C(t) entre t=0 y t=10 segundos, ¿qué representa en el contexto?

9)

La regularidad «F(x) = x^m+1/(m+1)» funciona para f(x)=x^m excepto para m = -1. ¿Por qué falla con f(x) = 1/x?

10)

Si G(x) = x³/3 es una antiderivada de g(x) = x², el área bajo g entre x=1 y x=2 se calcula como G(2) - G(1). ¿Cuál es ese valor?