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Representar y aplicar la integral definida
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Representar y aplicar la integral definida

Aplica propiedades de la integral definida, identifica relaciones gráficas entre función, derivada y antiderivada, calcula límites de áreas, modela volúmenes y recupera funciones de costos e ingresos por integración.

Ejemplo

Propiedad: ∫ab + ∫bc = ∫ac.

Costos desde C': C(x)=∫C'(t)dt + C0.

Explicación

La integral definida cumple propiedades de linealidad y aditividad. Si se conoce la razón de cambio (derivada) de una magnitud, la integración permite recuperar la magnitud acumulada.

1)

Simplifica aplicando propiedades: ∫-25 3x² dx + 4·∫-25 3x² dx

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2)

El corte transversal de un túnel de 380 m de largo tiene forma de parábola dada por y = -½x2 + 8, con x en metros y el suelo en y=0. El volumen del túnel se obtiene integrando el área transversal a lo largo del túnel. ¿Cuál es aproximadamente el volumen?

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3)

La razón instantánea de los costos es C'(x) = 3x2 - 8x + 8, con costos fijos C0 = 4. La función de costos se obtiene integrando: C(x) = ∫0x C'(t) dt + C0. ¿Cuál es la expresión de C(x)?

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4)

Usando propiedades de la integral definida, ¿cómo se puede expresar ∫25 (x³ - 2x²) dx + ∫57 (x³ - 2x²) dx?

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5)

Conocidas las funciones de ingresos I(x) y costos C(x), ¿cómo se obtiene la función de ganancias G(x)?

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6)

Observas tres gráficas: una función f, su derivada f' y una antiderivada F. ¿Qué característica permite identificar a F?

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7)

Determina limt→∞ ∫1t (1/x²) dx. Recuerda que una antiderivada de 1/x² es -1/x.

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8)

Se tienen las gráficas de una función f, su derivada f' y una antiderivada F. ¿Qué relación permite distinguirlas?

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9)

Calcula el área bajo la curva f(x) = -½x2 + 8 entre x=-4 y x=4 usando la integral definida.

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10)

La razón instantánea de los ingresos es constante: I'(x) = 12. Si no hay ingresos sin ventas (I(0)=0), ¿cuál es la función de ingresos I(x)?

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